[论文解读] Low Regularity Primal-Dual Weak Galerkin Finite Element Methods for Ill-Posed Elliptic Cauchy Problems

Chunmei Wang|arXiv (Cornell University)|Nov 24, 2020

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 39被引用 5

一句话总结

本文提出了一种新颖的原-对偶弱伽辽金有限元方法（PDWG），用于在精确解的正则性假设最小的条件下求解病态椭圆柯西问题。通过变分格式将原方程与其伴随（对偶）方程耦合，该方法在低正则性环境下实现了最优收敛速率，数值实验验证了其在离散 $L^2$ 范数下收敛阶高于 $ olimitsackepsilon(h)$。

ABSTRACT

A new primal-dual weak Galerkin (PDWG) finite element method is introduced and analyzed for the ill-posed elliptic Cauchy problems with ultra-low regularity assumptions on the exact solution. The Euler-Lagrange formulation resulting from the PDWG scheme yields a system of equations involving both the primal equation and the adjoint (dual) equation. The optimal order error estimate for the primal variable in a low regularity assumption is established. A series of numerical experiments are illustrated to validate effectiveness of the developed theory.

研究动机与目标

• 解决椭圆柯西问题的病态性，即解对数据不连续依赖，尤其在低正则性或含噪声边界条件下。
• 开发一种在精确解缺乏高正则性时仍保持稳定与收敛的有限元方法。
• 建立一个将原方程与对偶方程通过弱伽辽金格式结合的数学框架，以增强稳定性与精度。
• 在最小正则性假设下建立最优误差估计，扩展其在具有不确定或含噪声数据的实际问题中的适用性。

提出的方法

• 通过原-对偶弱伽辽金（PDWG）有限元方法对椭圆柯西问题进行公式化，利用变分格式将原始PDE与其伴随方程耦合。
• 采用弱伽辽金技术处理低正则性解，使用带有弱定义导数的不连续有限元空间。
• 通过结合原方程与对偶方程，构建对称且适定的系统，确保当精确解存在时与之保持一致性。
• 采用Nitsche型mortaring方法弱式处理边界条件，支持一般多边形/多面体网格并实现灵活的边界处理。
• 推导出离散变分格式，得到包含原变量与对偶（伴随）变量的鞍点系统。
• 采用混合有限元框架，同时求解原解及其对偶，提升稳定性与收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在精确解的正则性假设最小的条件下，原-对偶弱伽辽金有限元方法能否在椭圆柯西问题中实现最优收敛速率？
• RQ2 原方程与对偶方程的耦合如何在含噪声或低正则性数据下提升稳定性与精度？
• RQ3 当精确解具有有限Sobolev正则性（特别是$H^1$类或更低正则性范围）时，PDWG方法的收敛行为如何？
• RQ4 当系数张量非恒定且边界数据为混合（狄利克雷与诺伊曼）时，该方法能否保持最优收敛阶？
• RQ5 与标准有限元方法相比，当解表现出尖锐梯度或缺乏光滑性时，该方法的数值表现如何？

主要发现

• 在低正则性假设下，PDWG方法在离散 $L^2$ 范数中对原变量实现了最优收敛阶，数值实验中收敛速率高于 $\mathcal{O}(h)$。
• 对于精确解 $u = xy(1-x)(1-y)$，误差 $\|e_h\|_0$ 的收敛速率约为 $\mathcal{O}(h^{1.2})$ 至 $\mathcal{O}(h^{1.6})$，超过预期的 $\mathcal{O}(h)$ 速率。
• 对于 $u = e^{xy}$，$\|e_h\|_0$ 的收敛阶在 $\mathcal{O}(h^{1.1})$ 至 $\mathcal{O}(h^{1.3})$ 之间，表明实际中呈现超线性收敛。
• 对偶变量误差 $\|\lambda_0\|_0$、$\|\lambda_b\|_0$ 与 $\|\lambda_n\|_0$ 的收敛阶介于 $\mathcal{O}(h^{1.8})$ 与 $\mathcal{O}(h^{2.5})$ 之间，表明伴随解具有高精度。
• 数值实验表明，即使在系数张量非恒定与混合边界条件下，该方法仍保持稳定与收敛。
• 该方法在低正则性数据下表现出鲁棒性，验证了其在具有含噪声或不确定边界测量的反问题中的适用性。