[论文解读] Low-Sensitivity Functions from Unambiguous Certificates

Shalev Ben-David, Pooya Hatami+1 more|DROPS (Schloss Dagstuhl – Leibniz Center for Informatics)|May 23, 2016

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 42被引用 6

一句话总结

本文通过引入敏感性与单边无歧义证书复杂度（UC_min）之间新颖的联系，建立了新的查询复杂度分离。它实现了确定性/随机化/量子查询复杂度与敏感性之间的三次方分离，以及证书复杂度与敏感性之间的平方二点二二倍分离，方法基于UC_min和现有的作弊表函数构造。这些结果推翻了关于树敏感性的一个猜想，并改进了通信复杂度的下界。

ABSTRACT

We provide new query complexity separations against sensitivity for total Boolean functions: a power $3$ separation between deterministic (and even randomized or quantum) query complexity and sensitivity, and a power $2.22$ separation between certificate complexity and sensitivity. We get these separations by using a new connection between sensitivity and a seemingly unrelated measure called one-sided unambiguous certificate complexity ($UC_{min}$). We also show that $UC_{min}$ is lower-bounded by fractional block sensitivity, which means we cannot use these techniques to get a super-quadratic separation between $bs(f)$ and $s(f)$. We also provide a quadratic separation between the tree-sensitivity and decision tree complexity of Boolean functions, disproving a conjecture of Gopalan, Servedio, Tal, and Wigderson (CCC 2016). Along the way, we give a power $1.22$ separation between certificate complexity and one-sided unambiguous certificate complexity, improving the power $1.128$ separation due to Göös (FOCS 2015). As a consequence, we obtain an improved $Ω(\log^{1.22} n)$ lower-bound on the co-nondeterministic communication complexity of the Clique vs. Independent Set problem.

研究动机与目标

• 为长期存在的开放问题提供解答：敏感性是否与其它查询复杂度度量多项式相关？
• 在敏感性与确定性、随机化和量子查询复杂度等基本复杂度度量之间建立更强的分离。
• 改进Clique vs. Independent Set问题的共非确定性通信复杂度的下界。
• 推翻GSTW16提出的关于树敏感性与量子查询复杂度关系的猜想。
• 探索单边无歧义证书复杂度（UC_min）作为连接敏感性及其他度量的桥梁的作用。

提出的方法

• 引入并分析单边无歧义证书复杂度（UC_min），一种与证书复杂度相关但具有无歧义证书的度量。
• 建立一个关键定理，表明任何满足D(f) = ~Ω(UC_min(f)^{1+α})的函数族都蕴含D(f) = ~Ω(s(f)^{2+α})，从而将UC_min与敏感性联系起来。
• 利用ABK15提出的作弊表函数（其UC_min值较低），构造出相对于敏感性具有高量子查询复杂度的函数。
• 利用Göös构造的函数（满足C(f) ≥ UC_min(f)^1.128）来改进证书复杂度与敏感性之间的分离。
• 通过对块进行加权平均，以UC_min和平均度数为参数，界定随机化证书复杂度。
• 使用带分数权重的对偶见证方法，推导出RC(f)关于UC_min和与敏感性相关的参数的界。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否实现敏感性与证书复杂度之间的超二次方分离？
• RQ2 是否可以通过无歧义证书复杂度实现敏感性与其他查询复杂度度量之间更强的分离？
• RQ3 能否利用UC_min与敏感性之间的关系，改进量子查询复杂度的下界？
• RQ4 树敏感性度量是否如GSTW16所猜想的那样，与量子查询复杂度呈二次关系？
• RQ5 能否利用这些技术为Clique vs. Independent Set通信复杂度问题获得更强的下界？

主要发现

• 本文实现了确定性、随机化和量子查询复杂度与敏感性之间的三次方分离，表明D(f) = ~Ω(s(f)^3)。
• 它建立了证书复杂度与敏感性之间的平方二点二二倍分离，其中C(f) = Ω(s(f)^2.22)。
• 本文通过展示树敏感性与量子查询复杂度之间存在二次方分离，推翻了GSTW16的猜想，即Q(f) = ~Ω(ts(f)^2)。
• 它将证书复杂度与单边无歧义证书复杂度之间的分离改进为1.22次方的差距，超过Göös先前的1.128结果。
• 它证明了UC_min下界为分数块敏感度，从而排除了通过此方法实现块敏感度与敏感度之间超二次方分离的可能性。
• 改进的分离导致Clique vs. Independent Set问题的共非确定性通信复杂度下界达到Ω(log^1.22 n)。