[논문 리뷰] Lower bounds on maximal determinants of +-1 matrices via the probabilistic method

Richard P. Brent, Judy-anne H. Osborn외 1명|arXiv (Cornell University)|2012. 11. 14.

graph theory and CDMA systems참고 문헌 60인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 확률적 방법을 사용하여 $n \times n$ $\pm 1$-행렬의 최대 행렬식에 대한 새로운 하한을 확립한다. 여기서 정규화된 행렬식 $\mathcal{R}(n) = D(n)/n^{n/2}$ 는 $d = n - h$ 에 따라 결정되는 양의 상수 $\kappa_d$ 에 의해 하방으로 제한되며, $h$ 는 $n$ 이하의 최대 하다르드 순서이다. 주요 결과는 고정된 $d$ 에 대해 이전의 하한이 $n$ 에 따라 감소하는 것과는 달리, $n$ 에 의존하지 않는 하한을 제공함으로써 기존 결과를 향상시킨다. 구체적으로 모든 $n$ 에 대해 $\mathcal{R}(n) > 0.07 \cdot (0.352)^d$ 와 같은 명시적 하한이 도출되며, 하다르드 추측이 참이라면 $\mathcal{R}(n) \geq (2/\pi e)^{d/2}$ 이다.

ABSTRACT

We show that the maximal determinant D(n) for $n imes n$ ${\pm 1}$-matrices satisfies $R(n) := D(n)/n^{n/2} \ge κ_d > 0$. Here $n^{n/2}$ is the Hadamard upper bound, and $κ_d$ depends only on $d := n-h$, where $h$ is the maximal order of a Hadamard matrix with $h \le n$. Previous lower bounds on R(n) depend on both $d$ and $n$. Our bounds are improvements, for all sufficiently large $n$, if $d > 1$. We give various lower bounds on R(n) that depend only on $d$. For example, $R(n) \ge 0.07 (0.352)^d > 3^{-(d+3)}$. For any fixed $d \ge 0$ we have $R(n) \ge (2/(πe))^{d/2}$ for all sufficiently large $n$ (and conjecturally for all positive $n$). If the Hadamard conjecture is true, then $d \le 3$ and $κ_d \ge (2/(πe))^{d/2} > 1/9$.

연구 동기 및 목표

• 모든 $n$ 에 대해 $n \times n$ $\pm 1$-행렬의 최대 행렬식 $D(n)$ 에 대한 개선된 하한을 확립하는 것, 특히 4로 나누어 떨어지지 않는 $n$ 에 대해 중점적으로 다룸.
• 정규화된 행렬식 $\mathcal{R}(n) = D(n)/n^{n/2}$ 이 $d = n - h$ 에 따라 결정되는 양의 상수 $\kappa_d$ 에 의해 하방으로 제한되며, 이는 $n$ 과 $d$ 둘 다에 의존하는 것이 아니라 $d$ 에만 의존함을 보이는 것.
• 이전 결과와 마찬가지로 $(3/4)^{n/2}$ 와 같이 $n$ 에 따라 감소하는 하한을 개선하여, 고정된 $d$ 에 대해 $n$ 에 의존하지 않는 하한을 도출하는 것.
• 특수 케이스를 계산적으로 다루어 모든 $n$ 에 대해 결과가 일반적으로 성립함을 보장함으로써, 모든 $n$ 에 대해 하한이 성립하도록 보장하는 것.

제안 방법

• 하나의 $h \times h$ 하다르드 행렬을 기반으로 하여, $d = n - h$ 개의 새로운 행과 열에 각각 랜덤한 $\pm 1$ 원소를 추가하여 $n \times n$ $\pm 1$-행렬을 구성함.
• 완전한 행렬의 행렬식을 표현하기 위해 하다르드 블록의 슈어 여인수를 사용하여, 행렬식의 기대값에 대한 확률적 분석을 가능하게 함.
• 호프딩의 尾 확률 추정법을 적용하여, 높은 확률로 슈어 여인수가 대각우세임을 보이고, 이로 인해 그 행렬식이 대각원소의 곱과 가까워짐을 보임.
• 새로운 부등식(보조정리 8 및 10)을 사용하여 대각우세 행렬의 행렬식에 대한 새로운 하한을 도출함. 기존의 겔라르츠고린 정리에 기반한 하한보다 더 날카롭게 개선됨.
• Magma에서 구동되는 랜덤 알고리즘을 사용하여, 점점 더 큰 $n$ 에 대해 $\mathcal{R}(n)$ 에 대한 하한을 계산적으로 추정함. 특히 펠레이 또는 회의 행렬 구조를 활용함.
• 중간 단계에서 하다르드 순서가 존재할 수 있는 경계 케이스를 다루기 위해, 근처의 소수나 회의 행렬을 사용하여 검증함으로써, 모든 경우에 대해 하한이 성립함을 보장함.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고정된 $d = n - h$ 에 대해, $h$ 는 $n$ 이하의 최대 하다르드 순서일 때, $\mathcal{R}(n)$ 에 대한 하한을 $n$ 에 의존하지 않게 만들 수 있는가?
• RQ2 하나의 하드웨어 순서 갭에 의해 제한되는 $d$ 를 고려할 때, 모든 $n$ 에 대해 성립하는 최적의 보편 하한은 무엇인가?
• RQ3 확률적 방법을 사용하여 이전 결과인 $(3/4)^{n/2}$ 와는 달리 감소하지 않는 더 날카운 하한을 $\mathcal{R}(n)$ 에 대해 도출할 수 있는가?
• RQ4 해석적 하한과 계산적 검증을 어떻게 융합하여, 특수 케이스를 포함한 모든 $n$ 에 대해 결과가 성립함을 보장할 수 있는가?

주요 결과

• 모든 $n$ 에 대해 정규화된 행렬식은 $\mathcal{R}(n) > 0.07 \cdot (0.352)^d$ 를 만족하며, 여기서 $d = n - h$, $h$ 는 $n$ 이하의 최대 하다르드 순서이다. 이는 고정된 $d$ 에 대해 $n$ 에 의존하지 않는 보편 하한을 제공한다.
• 하다르드 추측이 참이라면, 모든 $n$ 에 대해 $\mathcal{R}(n) \geq (2/\pi e)^{d/2} > 1/9$ 이며, 이는 $d \leq 3$ 일 때 이전 결과보다 크게 향상됨.
• $\mathcal{R}(n) > 3^{-(d+3)}$ 는 모든 양의 정수 $n$ 에 대해 성립하며, 상수는 최적은 아니지만 보편성을 확보함.
• $d \leq 3$ 일 때, 추론 1에 따르면 모든 충분히 큰 $n$ 에 대해 $\mathcal{R}(n) \geq (2/\pi e)^{d/2}$ 이며, 이는 모든 $n > 0$ 에 대해 성립할 것으로 추측되며, Rokicki 등이 제안한 $1/2$ 의 하한에 수렴함.
• 논문은 표 1에 나열된 특수 케이스에 대해, 펠레이 또는 회의 행렬 구조를 사용한 Magma 기반의 랜덤 알고리즘을 통해 $\mathcal{R}(n) > (2/\pi e)^{d/2}$ 가 모든 $n$ 에 대해 성립함을 증명함.
• 저자들은 확장된 행렬의 슈어 여인수가 높은 확률로 대각우세임을 증명하였으며, 이로 인해 새로운 부등식(보조정리 8 및 10)을 통해 그 행렬식에 대한 날카운 하한을 도출할 수 있었고, 이는 기존의 겔라르츠고린 기반 하한보다 더 날카롭게 개선됨.