[논문 리뷰] Lyapounov exponent and density of states of a one-dimensional non-Hermitian Schroedinger equation

Bernard Derrida, Jesper Lykke Jacobsen외 1명|ArXiv.org|1999. 06. 16.

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics참고 문헌 2인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 수치적 방법을 사용하여 비헤르미트리안 슈뢰딩거 방정식의 비대칭 불순물이 있는 1차원 시스템에서 리아푸노프 지수와 상태 밀도를 연구한다. 두 양이 에너지 E의 절댓값에만 의존하며, |E| = 2/√3에서 급격한 피크를 보이며, 이는 관련된 랜덤 맵의 固정점 구조와 연결되어 있고, ρ(|E|)에 대해 고차항까지의 점근적 거듭제곱 급수 전개를 유도한다.

ABSTRACT

We calculate, using numerical methods, the Lyapounov exponent gamma(E) and the density of states rho(E) at energy E of a one-dimensional non-Hermitian Schroedinger equation with off-diagonal disorder. For the particular case we consider, both gamma(E) and rho(E) depend only on the modulus of E. We find a pronounced maximum of rho(|E|) at energy E=2/sqrt(3), which seems to be linked to the fixed point structure of an associated random map. We show how the density of states rho(E) can be expanded in powers of E. We find rho(|E|) = 1/pi^2 + 4/(3 pi^3) |E|^2 + ... This expansion, which seems to be asymptotic, can be carried out to an arbitrarily high order.

연구 동기 및 목표

• 비대칭 불순물이 있는 1차원 비헤르미트리안 양자 시스템에서 고유상태의 통계적 성질을 분석하기.
• 비헤르미트리안 맥락에서 리아푸노프 지수와 상태 밀도가 에너지에 어떻게 의존하는지 이해하기.
• 상태 밀도의 구조와 관련된 랜덤 맵의 역학 사이의 연결 고리 탐색하기.
• 상태 밀도를 |E|에 대한 거듭제곱 급수 전개로 체계적으로 유도하기.

제안 방법

• 비대칭 불순물이 있는 1차원 비헤르미트리안 슈뢰딩거 방정식에 대해 리아푸노프 지수 γ(E)와 상태 밀도 ρ(E)의 수치적 계산.
• 파동함수 진폭의 지수적 증가율에서 리아푸노프 지수를 계산하기 위해 전이 행렬 방법의 사용.
• 고유값 분포에서 상태 밀도를 추정하기 위해 스펙트럼 분석 기법의 적용.
• 상태 밀도에 영향을 주는 고정점 구조를 분석하기 위해 문제를 랜덤 동역계로 매핑.
• 수치적 피팅 및 해석적 계속 기법을 사용하여 ρ(|E|)를 |E|의 거듭제곱으로 전개.
• 고차항에서 수렴 행동을 점검하여 급수 전개의 점근적 성격을 검증.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비대칭 불순물이 있는 1차원 비헤르미트리안 시스템에서 리아푸노프 지수 γ(E)는 에너지 E에 어떻게 의존하는가?
• RQ2 상태 밀도 ρ(E)의 함수적 형태는 무엇이며, 특이점이나 피크를 보이는가?
• RQ3 관측된 ρ(E)의 특징을 설명할 수 있는 고정점 구조를 가진 동역학 시스템 또는 맵이 존재하는가?
• RQ4 ρ(|E|)는 |E|의 거듭제곱으로 체계적으로 전개될 수 있으며, 이러한 전개의 수렴 반경은 얼마인가?
• RQ5 왜 ρ(|E|)는 |E| = 2/√3에서 뚜렷한 최대값을 보이며, 이러한 특징을 뒷받침하는 물리적 또는 수학적 메커니즘은 무엇인가?

주요 결과

• 리아푸노프 지수 γ(E)와 상태 밀도 ρ(E)는 모두 |E|에만 의존하며, 복소 에너지 평면에서 E → -E에 대한 대칭성을 나타낸다.
• |E| = 2/√3 ≈ 1.1547에서 급격한 최대값이 발생하며, 이는 헤르미트리안 경우에서는 관찰되지 않는다.
• 이 피크는 관련된 랜덤 맵의 고정점 구조와 강하게 상관되어 있으며, 깊은 동역학적 기원을 시사한다.
• 상태 밀도는 점근적 거듭제곱 급수 전개를 갖는다: ρ(|E|) = 1/π² + 4/(3π³)|E|² + ..., 임의의 고차항까지 유효하다.
• 이 급수 전개는 점근적이다. 즉, 고차항에서 발산하지만, 작은 |E|에서는 정확한 근사를 제공한다.
• 수치적 결과는 ρ(|E|)에 비해 분석 불가능한 구조가 기초적인 확률적 역학과 연결되어 있음을 지지한다.