[논문 리뷰] Macdonald formula for curves with planar singularities

Davesh Maulik, Zhiwei Yun|arXiv (Cornell University)|2011. 07. 12.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 16인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 평면 특이점을 가진 정수 계수의 프로젝티브 곡선으로 매끄러운 곡선에 대한 Macdonald의 공식을 일반화한다. 이는 편향 필터를 통해 호몰로지 군의 호몰로지와 컴actified Jacobian의 호몰로지 사이의 관계를 이용한다. 주요 결과는 편향 필터의 각 단계에서의 호몰로지의 조합으로 구성된 제타 함수를 통해 Hilbert 스킴의 생성 함수와의 동형을 증명하며, 이는 Weil 추측의 일부를 특이 곡선으로 확장한다.

ABSTRACT

We generalize Macdonald's formula for the cohomology of Hilbert schemes of points on a curve from smooth curves to curves with planar singularities: we relate the cohomology of the Hilbert schemes to the cohomology of the compactified Jacobian of the curve. The new formula is a consequence of a stronger identity between certain perverse sheaves defined by a family of curves satisfying mild conditions. The proof makes an essential use of Ngo's support theorem for compactified Jacobians and generalizes this theorem to the relative Hilbert scheme of such families. As a consequence, we generalize part of the Weil conjectures to the Hilbert-zeta function of curves with planar singularities.

연구 동기 및 목표

• 매끄러운 곡선에 대한 Macdonald의 대칭적 스킴에 대한 코homological 공식을 대칭적 스킴이 아닌 Hilbert 스킴을 사용하여 평면 특이점을 가진 곡선으로 확장한다.
• 특이 곡선의 컴actified Jacobian 호몰로지에 대한 표준적인 편향 필터를 정의하고 특성화한다.
• Hilbert 스킴의 호몰로지와 컴actified Jacobian의 필터링된 호몰로지로부터 만든 제타 함수 사이의 생성 함수 항등식을 확립한다.
• 유한체 위의 평면 특이점을 가진 곡선에 대해 Weil 추측의 일부를 Hilbert-제타 함수로 일반화한다.

제안 방법

• 조건 (A1)-(A3)을 만족하는 곡선의 가속도에 특이 곡선을 포함시키며, 상대 Hilbert 스킴과 컴actified Jacobian이 호몰로지 연산에서 잘 행동하도록 보장한다.
• Ngô의 컴actified Jacobian에 대한 지지 정리와 이를 상대 Hilbert 스킴으로 일반화하여, 편향 필터의 존재성과 가속도 선택에 대한 독립성을 확립한다.
• 가속도의 컴actified Jacobian의 직접 이미지 복합체를 통해 $\textup{H}^{*}(\overline{\textup{Jac}}(C))$에 대한 편향 필터 $P_{\leq i}$를 정의하며, $0 \leq i \leq 2g_a$ 외부에서는 0이 되도록 정규화한다.
• 분모가 $(1 - \mathbb{Q}_\ell t)(1 - \mathbb{Q}_\ell[-2](-1)t)$이고 분자로 필터링된 호몰로지의 각 단계를 사용한 유리 함수로 구성된 코homological 제타 함수 $Z_P(t,C)$를 구성한다.
• Hilbert 스킴에 대한 곱 공식과 가상 Poincaré 다항식을 사용하여 주요 항등식 $\bigoplus_{n \geq 0} \textup{H}^{*}(\textup{Hilb}^n(C)) t^n \cong Z_P(t,C)$를 증명한다.
• 지역적 경우를 분석하여 평면 특이점의 점별 Hilbert 스킴을 분석하고, 그 가상 Poincaré 다항식이 라디컬 $\Lambda$에 대한 모odulo된 축소된 컴actified Picard 스킴의 호몰로지와 관련이 있음을 규명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 매끄러운 곡선에 대한 Macdonald의 공식을 평면 특이점을 가진 곡선으로 어떻게 일반화할 수 있는가?
• RQ2 특이 곡선의 Hilbert 스킴 호몰로지의 구조를 결정하는 컴actified Jacobian에 대한 적절한 코homological 불변량은 무엇인가?
• RQ3 평면 특이점을 가진 특이 곡선의 Hilbert-제타 함수는 Weil 추측과 유사한 함수 방정식과 유리성 성질을 만족하는가?
• RQ4 컴actified Jacobian 호몰로지에 대한 편향 필터는 어떻게 표준적으로 정의되며, 가속도의 선택에 독립적인가?
• RQ5 점별 Hilbert 스킴의 가상 Poincaré 다항식과 평면 특이점의 컴actified Picard 스킴 호몰로지 사이의 정확한 관계는 무엇인가?

주요 결과

• 평면 특이점을 가진 곡선 $C$에 대해 Hilbert 스킴 $\textup{Hilb}^n(C)$의 호몰로지 는 $i,j \geq 0$, $i+j \leq n$ 인 모든 조합에 대해 $\textup{H}^{*}(\overline{\textup{Jac}}(C))$의 $i$-번째 단계 편향 필터의 성분을 $[-2j]$ 이동시키고 $(-j)$-twist한 것들의 직합과 동형이다.
• 생성 함수 $\bigoplus_{n \geq 0} \textup{H}^{*}(\textup{Hilb}^n(C)) t^n$ 은 컴actified Jacobian의 필터링된 호몰로지로부터 만든 제타 함수 $Z_P(t,C)$와 동형이다.
• 특이점의 최대 다중성보다 큰 특성수를 가진 $\mathbb{F}_q$ 위의 평면 특이점을 가진 곡선에 대해, Hilbert-제타 함수 $Z_{\textup{Hilb}}(t,C/\mathbb{F}_q)$ 는 $P(t)/((1-t)(1-qt))$ 형태의 유리 함수이며, $P(t)$ 는 차수 $2g_a$ 를 가진다.
• Hilbert-제타 함수는 함수 방정식 $Z_{\textup{Hilb}}(t,C/\mathbb{F}_q) = (qt^2)^{g_a - 1} Z_{\textup{Hilb}}(q^{-1}t^{-1}, C/\mathbb{F}_q)$ 를 만족하며, 이는 매끄러운 곡선에 대한 Weil 추측을 일반화한다.
• 지역적 경우에서, 점별 Hilbert 스킴의 가상 Poincaré 다항식은 $\sum_n P^{\textup{vir}}(\textup{Hilb}^n(\widehat{\mathcal{O}}),s) t^n = \frac{\sum_i P^{\textup{vir}}(\text{Gr}^P_i \textup{H}^*(\overline{\text{Pic}}^{\text{red}}(\widehat{\mathcal{O}})/\Lambda), s) t^i}{(1-t)^r}$ 를 만족하며, 여기서 $r$ 은 국소 브랜치의 수이다.
• 컴actified Jacobian의 $\textup{H}^*(\overline{\text{Jac}}(C))$에 대한 편향 필터는 그 정의에 사용된 가속도의 선택에 독립적이며, 가중치 필터와의 엄격한 호환성과 컴actified Jacobian의 구조를 통해 이를 증명할 수 있다.