[논문 리뷰] Maclaurin series expansions for powers of inverse (hyperbolic) sine, for powers of inverse (hyperbolic) tangent, and for incomplete gamma functions, with applications to second kind Bell polynomials and generalized logsine function

Bai‐Ni Guo, Dongkyu Lim외 1명|arXiv (Cornell University)|2021. 01. 26.

Advanced Mathematical Identities참고 문헌 17인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 제1종 슈뢰더 수와 이항 계수를 사용하여 역(trigonometric/hyperbolic) sine 및 tangent 함수의 거듭제곱에 대한 명시적 마클로린 급수 전개를 유도하며, 불완전 감마 함수와의 복합 함수에 대해서도 이를 적용한다. 이 전개를 통해 제2종 벨 다항식의 특수값에 대한 닫힌 형식의 표현식을 얻고, 일반화된 로그사인 함수의 급수 표현을 도출하며, 기존의 조합 항등식을 통합하고 단순화한다.

ABSTRACT

In the paper, the authors establish nice Maclaurin series expansions and series identities for powers of the inverse sine function, for powers of the inverse hyperbolic sine function, for composites of incomplete gamma functions with the inverse hyperbolic sine function, for powers of the inverse tangent function, and for powers of the inverse hyperbolic tangent function, in terms of the first kind Stirling numbers, binomial coefficients, and multiple sums, apply the nice Maclaurin series expansion for powers of the inverse sine function to derive an explicit formula for special values of the second kind Bell polynomials and to derive a series representation of the generalized logsine function, and deduce several combinatorial identities involving the first kind Stirling numbers. Some of these results simplify and unify some known ones.

연구 동기 및 목표

• 역(trigonometric/hyperbolic) sine 및 tangent 함수의 거듭제곱에 대한 새로운 마클로린 급수 전개를 수립하는 것.
• 불완전 감마 함수와의 복합 함수에 대한 역하이퍼볼릭 sine 함수의 급수 전개를 도출하는 것.
• 이러한 전개를 활용하여 제2종 벨 다항식의 특수값을 명시적으로 계산하는 것.
• 유도된 전개를 활용하여 일반화된 로그사인 함수의 급수 표현을 제공하는 것.
• 제1종 슈뢰더 수를 포함하는 조합 항등식을 도출하고 통합하는 것.

제안 방법

• 제1종 슈뢰더 수와 이항 계수를 사용하여 (arcsin x)^m 및 (arcsinh x)^m의 마클로린 급수를 유도하는 것.
• (arcsin x)^m의 급수 전개를 활용하여 제2종 벨 다항식의 특수값을 닫힌 형식으로 표현하는 것.
• 동일한 전개 프레임워크를 활용하여 일반화된 로그사인 함수의 급수 표현을 유도하는 것.
• 불완전 감마 함수와의 복합 함수를 나타내기 위해 슈뢰더 수와 이항 계수를 포함하는 다중 합을 구성하는 것.
• 계수를 비교하고 슈뢰더 수의 알려진 생성함수를 활용하여 항등식을 수립하는 것.
• 유도된 급수를 통해 기존에 알려진 조합 항등식의 단순화 및 통합을 보여주는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 역 sine 및 역 하이퍼볼릭 sine 함수의 거듭제곱에 대한 명시적 마클로린 급수 전개는 무엇인가?
• RQ2 (arcsin x)^m의 급수 전개를 활용하여 제2종 벨 다항식의 닫힌 형식의 표현식을 어떻게 도출할 수 있는가?
• RQ3 유도된 급수를 활용하여 일반화된 로그사인 함수의 급수 표현을 구성할 수 있는가?
• RQ4 이러한 전개에서 도출되는 제1종 슈뢰더 수를 포함하는 조합 항등식은 무엇인가?
• RQ5 이러한 결과는 문헌에 알려진 기존 항등식을 어떻게 단순화하거나 통합하는가?

주요 결과

• 논문은 (arcsin x)^m의 마클로린 급수를 활용하여 제2종 벨 다항식의 특수값에 대한 새로운 명시적 공식을 제공한다.
• 역 sine 거듭제곱 급수의 응용을 통해 일반화된 로그사인 함수의 급수 표현이 도출된다.
• 제1종 슈뢰더 수를 포함하는 조합 항등식이 도출되었으며, 이는 기존 결과를 단순화하거나 통합함을 보여준다.
• (arcsinh x)^m 및 불완전 감마 함수와의 관련 복합 함수에 대한 급수 전개가 다중 합과 이항 계수를 사용하여 수립된다.
• 역 삼각함수 및 하이퍼볼릭 함수의 유도된 전개는 슈뢰더 수와 이항 계수로 표현되어 체계적인 계산을 가능하게 한다.
• 결과는 특수함수 및 조합론 분야에서 이전에 분산되어 있던 항등식들을 단순화하는 통합적 프레임워크를 보여준다.