[论文解读] Mapping class group invariant unitarity of the Hitchin connection over Teichmüller space

Jørgen Ellegaard Andersen|arXiv (Cornell University)|Jun 11, 2012

Geometric and Algebraic Topology参考文献 68被引用 6

一句话总结

该论文在Teichmüller空间上的Hitchin连接上构造了一个映射类群不变的Hermitian结构，证明其在所有级别k下与标准$L^2$内积一致等价。该构造利用了对应于成对裤分解的边界点处的渐近行为，并通过一个几何定义的内积实现投影酉性，该内积与$L^2$范数仅相差一致常数。

ABSTRACT

We provide a geometric construction of the unitary structure which is projectively preserved by the Hitchin connection. We analyze the asymptotic behavior of it and we establish that it is uniformly in the level equivalent to the Hermitian structure induced by the L2 inner product on smooth sections.

研究动机与目标

• 在Teichmüller空间上的Hitchin连接的量子丛上构造一个关于映射类群作用不变的Hermitian结构。
• 建立该结构在Hitchin连接下投影保持不变，确保平行移动下的一致性。
• 分析Hermitian结构在Teichmüller空间边界点（对应于成对裤分解）处的渐近行为。
• 证明几何构造的Hermitian结构与标准$L^2$内积在所有级别$k$下的一致等价性。
• 证明所构造的内积自然地源于关于实极化和Bohr–Sommerfeld纤维的几何量化的结果。

提出的方法

• 通过从成对裤边界处的渐近极限导出的权函数$G^{(k)}_\sigma$，在量子空间$H^{(k)}_\sigma$上定义Hermitian结构$[\cdot,\cdot]^{(k)}_P$。
• 将权函数$G^{(k)}_\sigma$构造为沿Hitchin连接在Bohr–Sommerfeld纤维上平行移动的协变常数截面的极限。
• 利用Jeffrey–Weitsman的实极化及其相关的分布截面，定义迹映射$h_P: M \to [-2,2]^{3g-3}$的纤维上的协变常数截面基。
• 通过在纤维上对体积形式$\Omega_{P,b}$进行积分来定义内积，并利用函数$G^{(k)}_\sigma$将其全局延拓。
• 通过证明存在一个1-形式$\alpha$满足投影保持条件，从而证明所得Hermitian结构被Hitchin连接投影保持。
• 通过$1/k$的渐近展开及对权函数$G^{(k)}_\sigma$的控制，建立$[\cdot,\cdot]^{(k)}_P$与$L^2$内积之间的一致等价性。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在一个在Teichmüller空间上的量子丛$H^{(k)}$上的Hermitian结构，使其既关于映射类群不变，又在Hitchin连接下投影保持？
• RQ2 Hermitian结构在Teichmüller空间边界（对应于成对裤分解）处的渐近行为如何影响其全局性质？
• RQ3 几何构造的Hermitian结构是否在所有级别$k$和Teichmüller空间的所有点上与标准$L^2$内积一致等价？
• RQ4 Hitchin连接的酉结构能否通过关于实极化的几何量化来自然定义？
• RQ5 所构造的内积是否源于一个全局定义良好的函数$G^{(k)}_\sigma$，该函数与量化的核正交且协变常数？

主要发现

• 通过成对裤分解的渐近数据，在$H^{(k)}$上构造了一个映射类群不变的Hermitian结构$[\cdot,\cdot]^{(k)}_P$。
• 所构造的Hermitian结构被Hitchin连接投影保持，满足条件$V[(s_1,s_2)] - (\nabla_V s_1, s_2) - (s_1, \nabla_V s_2) = \alpha(V)(s_1,s_2)$，其中$α$为某个1-形式。
• Hermitian结构$[\cdot,\cdot]^{(k)}_P$与$L^2$内积一致等价：存在常数$c_{P,\sigma_0}$，使得对所有$s \in H^{(k)}_{\sigma_0}$，有$c^{-1}_{P,\sigma_0}\|s\|_{L^2} \leq \|s\|_{P,\sigma_0} \leq c_{P,\sigma_0}\|s\|_{L^2}$。
• 内积通过权函数$G^{(k)}_\sigma$的积分来定义，该权函数被构造为Bohr–Sommerfeld纤维上协变常数截面平行移动的极限。
• 权函数$G^{(k)}_\sigma$具有$1/k$的渐近展开，该展开确保了等价常数的统一控制。
• 最终的内积公式为$[s_1,s_2]_{P,\sigma}^{(k)} = \int_M \langle s_1,s_2 \rangle G^{(k)}_\sigma \frac{\omega^m}{m!}$，该公式在Teichmüller空间所有$\sigma \in \mathcal{T}$上一致成立。