[논문 리뷰] Markov convexity and nonembeddability of the Heisenberg group

Sean Li|arXiv (Cornell University)|2014. 04. 27.

Geometric Analysis and Curvature Flows참고 문헌 13인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 연속적인 무한차원 하이젠베르크 군 $\bbH_\f$가 마르코프 4-볼록임을 증명하고, 모든 $p<4$에 대해 마르코프 $p$-볼록일 수 없음을 보이며, 하이젠베르크 군이 유클리드 공간으로 비-리프시츠로 통합될 수 없음을 새롭게 미터릭 증명한다. 핵심 결과는 라크소 그래프 $G_n$를 $\bbH_\f$로의 명시적 통합을 구성함으로써 도출되며, 이 통합의 왜곡은 $O(n^{1/4}\rsqrt{\rlog n})$이다. 이는 이산 하이젠베르크 군 볼이 마르코프 $p$-볼록 공간으로의 통합에 대한 정량적 하한 왜곡을 제공한다.

ABSTRACT

We compute the Markov convexity invariant of the continuous infinite dimensional Heisenberg group $\mathbb{H}_\infty$ to show that it is Markov 4-convex and cannot be Markov $p$-convex for any $p &lt; 4$. As Markov convexity is a biLipschitz invariant and Hilbert space is Markov 2-convex, this gives a different proof of the classical theorem of Pansu and Semmes that the Heisenberg group does not admit a biLipschitz embedding into any Euclidean space. The Markov convexity lower bound will follow from exhibiting an explicit embedding of Laakso graphs $G_n$ into $\mathbb{H}_\infty$ that has distortion at most $C n^{1/4} \sqrt{\log n}$. We use this to show that if $X$ is a Markov $p$-convex metric space, then balls of the discrete Heisenberg group $\mathbb{H}(\mathbb{Z})$ of radius $n$ embed into $X$ with distortion at least some constant multiple of $$\frac{(\log n)^{\frac{1}{p}-\frac{1}{4}}}{\sqrt{\log \log n}}.$$ Finally, we show that Markov 4-convexity does not give the optimal distortion for embeddings of binary trees $B_m$ into $\mathbb{H}_\infty$ by showing that the distortion is on the order of $\sqrt{\log m}$.

연구 동기 및 목표

• 연속적인 무한차원 하이젠베르크 군 $\bbH_\f$의 마르코프 4-볼록성을 확립하기 위해.
• 3차원 하이젠베르크 군 $\bbH_1$ (따라서 $\bbH_\f$)가 모든 $p<4$에 대해 마르코프 $p$-볼록일 수 없음을 보여주기 위해.
• 마르코프 볼록성을 사용하여 하이젠베르크 군이 유클리드 공간으로 비-리프시츠로 통합될 수 없음을 새롭게 미터릭 증명하기 위해.
• 이산 하이젠베르크 군 볼이 마르코프 $p$-볼록 거리 공간으로의 비-리프시츠 왜곡에 대한 정량적 하한을 유도하기 위해.
• 마르코프 4-볼록성이 이진 트리가 $\bbH_\f$로의 통합에 대해 최적의 왜곡 한계를 제공하는지 조사하기 위해.

제안 방법

• Laakso 그래프 $G_n$를 $\bbH_\f$로의 명시적 비-리프시츠 통합을 구성하여, 왜곡이 최대 $Cn^{1/4}\rsqrt{\rlog n}$이 되도록 하기 위해.
• Laakso 그래프 통합의 왜곡을 이용하여 $\bbH_\f$의 마르코프 $p$-볼록성 상수에 대한 하한을 도출하기 위해.
• 마르코프 볼록성 이론과 비-리프시츠 사상에 대한 불변성을 적용하여 $\bbH_\f$의 기하학적 성질을 유클리드 공간의 성질과 연결하기 위해.
• 이진 트리의 부분트리에 색칠 기법을 적용하여 왜곡이 통제된 $\rho$-fork 구성(configuration)을 식별하기 위해.
• 레마 3.10을 적용하여 통합에 의한 이미지 점들의 중심 좌표를 제어하고, 낮은 왜곡을 가정할 경우 모순을 이끌어내기 위해.
• 사상의 비수축성 성질과 하이젠베르크 군의 카르탕-카라테오도리 거리 구조를 이용하여 거리 추정에서 모순을 도출하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 연속적인 무한차원 하이젠베르크 군 $\bbH_\f$는 마르코프 4-볼록인가?
• RQ2 3차원 하이젠베르크 군 $\bbH_1$는 모든 $p<4$에 대해 마르코프 $p$-볼록일 수 있는가?
• RQ3 마르코프 4-볼록성이 이진 트리가 $\bbH_\f$로의 통합에 대해 최적의 왜곡 한계를 제공하는가?
• RQ4 이산 하이젠베르크 군 볼이 마르코프 $p$-볼록 거리 공간으로의 비-리프시츠 왜곡에 대한 정량적 하한은 무엇인가?
• RQ5 마르코프 볼록성을 사용하여 하이젠베르크 군이 유클리드 공간으로의 통합이 불가능함을 재증명할 수 있는가?

주요 결과

• $\bbH_\f$는 마르코프 4-볼록이다.
• $\bbH_1$ (따라서 $\bbH_\f$)는 모든 $p<4$에 대해 마르코프 $p$-볼록이 아니며, 이는 마르코프 4-볼록성이 정확함을 의미한다.
• Laakso 그래프 $G_n$가 $\bbH_\f$로의 명시적 통합은 어떤 절대 상수 $C>0$에 대해 최대 $Cn^{1/4}\rsqrt{\rlog n}$의 왜곡을 가진다.
• 이 통합은 이산 하이젠베르크 군 볼이 마르코프 $p$-볼록 거리 공간으로의 비-리프시츠 왜곡에 대한 정량적 하한을 제공한다.
• 마르코프 4-볼록성은 이진 트리 $B_m$이 $\bbH_\f$로의 통합에 대해 최적의 왜곡 한계를 제공하지 못한다; 실제 왜곡은 $\rsqrt{\rlog m}$ 정도이다.
• 낮은 왜곡의 비수축 사상이 이진 트리에서 $\bbH_\f$로 존재한다고 가정할 경우, $\rho$-fork 구성과 레마 3.10에 의한 중심 좌표 제어를 통해 모순을 이끌어낸다.