[논문 리뷰] Martingale optimal transport in the Skorokhod space

Yan Dolinsky, H. Meté Soner|arXiv (Cornell University)|2014. 04. 05.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 18인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 càdlàg 과정의 스코로호드 공간에서 마틴갈 최적 운반 문제에 대해 칸토로비치 유형 쌍대성을 수립하며, 경로에 의존하는 유럽형 옵션의 초과 복제 비용이 정적 옵션 가격과 일치하는 모든 마틴갈 측도 위에서의 기대 수익의 상한과 같음을 증명한다. 이 결과는 볼록 순서 제약 조건이 있는 다중 마진 설정으로 확장되며, 이는 이산화, 약한 수렴, 스코로호드 표현을 통해 불연속성과 비콤팩트성을 다루는 데 기반한다.

ABSTRACT

The dual representation of the martingale optimal transport problem in the Skorokhod space of multi dimensional cadlag processes is proved. The dual is a minimization problem with constraints involving stochastic integrals and is similar to the Kantorovich dual of the standard optimal transport problem. The constraints are required to hold for very path in the Skorokhod space. This problem has the financial interpretation as the robust hedging of path dependent European options. In this second version, we included the multi-marginal case.

연구 동기 및 목표

• 다차원, 점프-디퓨전 유사 시장에서 경로에 의존하는 옵션의 초과 복제 비용에 대한 쌍대 표현을 수립하기 위해.
• 기본적인 칸토로비치 쌍대성을 스코로호드 공간의 càdlàg 과정으로 확장하여 불연속적인 가격 궤적을 수용하기 위해.
• 볼록 순서와 수익 함수의 성장 조건을 포함한 일반 조건 하에서 쌍대성을 증명하기 위해.
• 마틴갈 측도의 비콤팩트성과 가격 과정의 불연속성으로 인한 기술적 과제를 확률론적 및 함수해석학적 기법을 통해 다루기 위해.
• 비모형 기반 가격 설정과 강건한 헤징을 위한 엄밀한 기초를 제공하기 위해.

제안 방법

• 시간 연속 문제를 통제 가능한 시간 간격을 가진 유한 시간, 이산 시간 시장의 시퀀스로 이산화하기 위해.
• 이산 근사에 고전적인 최소-최대 정리를 적용하여 최적의 쌍대 변수 존재 보장하기 위해.
• Föllmer와 Kramkov의 제약 조건이 있는 쌍대성을 사용하여 이중 문제에서 마틴갈 및 가격 제약 조건 다루기 위해.
• 균일 적분 가능성과 타이트니스 성질을 갖는 스코로호드 공간 내 근사 과정의 시퀀스 구축하기 위해.
• 스코로호드 표현 정리를 활용하여 근사 과정이 한계 과정으로 거의 확실히 수렴하도록 하기 위해.
• 조건부 기대를 통해 한계 과정을 수정하여 마틴갈 성질 복원하기 위해, 이로써 한계 법칙이 일관된 마틴갈 측도 집합에 속함을 보장하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 스코로호드 공간의 càdlàg 과정에서 초과 복제에 대해 칸토로비치 유형 쌍대성을 수립할 수 있는가?
• RQ2 볼록 순서 제약 조건이 있는 다중 마진 문제로 쌍대성이 어떻게 확장될 수 있는가?
• RQ3 마틴갈 측도 집합의 비콤팩트성과 가격 과정의 불연속성을 다루기 위해 필요한 기술적 도구는 무엇인가?
• RQ4 점프와 다차원성 존재 하에서 원본 및 쌍대 수열의 수렴을 어떻게 엄밀히 확보할 수 있는가?
• RQ5 쌍대 공식화가 모델 불확실성 하에서 일반적인 경로에 의존하는 옵션에 대한 최소 초과 복제 비용을 특성화하는 데 사용될 수 있는가?

주요 결과

• 경로에 의존하는 옵션 G의 초과 복제 비용은 정적 옵션 가격과 일치하는 모든 마틴갈 측도 위에서의 기대 수익의 상한과 같다.
• 성장 조건 |G(S)| ≤ C(1 + |S_T|) 및 스코로호드 위상에서의 균일 연속성 하에서 쌍대성이 성립한다.
• 다중 마진의 경우, 종료 측도 μ_N 이 어떤 p > 1 에 대해 유한한 p차 모멘트를 가지며, 마진이 볼록 순서에 있을 때 쌍대성이 확장된다.
• 스코로호드 표현 및 조건부 기대를 통한 수정을 통해 구축된 한계 과정은 마틴갈이며, 그 법칙은 일관된 마틴갈 측도 집합에 속한다.
• 원본 과정과 수정된 과정 사이의 근사 오차는 ε 이하로 유계이며, 이는 쌍대 수열의 수렴을 보장한다.
• 증명 과정에서 근사 수열의 타이트니스와 균일 적분 가능성을 확보하여, 확률적 임bedding 을 통한 약한 수렴 및 거의 확실한 수렴을 가능하게 한다.