[논문 리뷰] Martingale problems on Banach spaces

Markus Kunze|arXiv (Cornell University)|2010. 09. 14.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 8인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 국소 마르팅게일 문제의 해와 원추형 유클리드 프로세스에 의해 구동되는 비선형 확률 미분 방정식의 해석적 약한 해 사이의 일대일 대응을 수립한다. 잘 정의된 방정식이 강한 마르코프 과정을 유도함을 증명하고, 이 틀을 미분 계수와 허더 연속성의 곱형 소음이 있는 방정식에 적용한다.

ABSTRACT

We introduce the local martingale problem associated to semilinear stochastic evolution equations driven by a cylindrical Wiener process and establish a one-to-one correspondence between solutions of the martingale problem and (analytically) weak solutions of the stochastic equation. We also prove that the solutions of well-posed equations are strong Markov processes. We apply our results to semilinear stochastic equations with additive noise where the semilinear term is merely measurable and to stochastic reaction-diffusion equations with Holder continuous multiplicative noise.

연구 동기 및 목표

• 비선형 확률 미분 방정식의 국소 마르팅게일 문제를 바나흐 공간 값 확률 과정의 맥락에서 수립하고 분석한다.
• 마르팅게일 문제의 해와 확률 미분 방정식의 해석적 약한 해 사이의 엄밀한 대응 관계를 수립한다.
• 잘 정의된 방정식의 해가 강한 마르코프 과정임을 증명한다.
• 이 틀을 미분 계수와 허더 연속성의 곱형 소음이 있는 방정식에 적용한다.

제안 방법

• 바나흐 공간 값 확률 과정의 맥락에서 국소 마르팅게일 문제를 수립한다.
• 원추형 유클리드 프로세스에 의해 구동되는 비선형 확률 미분 방정식 이론을 사용한다.
• 함수 해석 기법을 활용하여 마르팅게일 문제의 해의 존재성과 유일성을 확립한다.
• 약한 해와 마르팅게일 문제를 연결하기 위해 야마다-ワタナ베 유형의 추론을 적용한다.
• 전이 확률의 강한 페러셀 성질과 정규성을 활용하여 강한 마르코프 성질을 증명한다.
• 특정 클래스의 SPDE에 이 틀을 적용한다. 이는 미분 계수와 허더 연속성의 곱형 소음이 있는 방정식 포함.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 국소 마르팅게일 문제가 비선형 확률 미분 방정식의 약한 해와 어떤 조건에서 대응되는가?
• RQ2 잘 정의된 확률 미분 방정식의 해에 대해 강한 마르코프 성질은 어떻게 확립할 수 있는가?
• RQ3 이 틀에서 다룰 수 있는 비선형성의 유형(예: 미분 가능, 허더 연속성)은 무엇인가?
• RQ4 마르팅게일 문제 접근법은 가산 소음과 비정규 계수를 갖는 SPDE에 적용 가능한가?
• RQ5 무한 차원에서 마르팅게일 문제의 수립에 있어 원추형 유클리드 프로세스의 역할은 무엇인가?

주요 결과

• 국소 마르팅게일 문제의 해와 확률 미분 방정식의 해석적 약한 해 사이에 일대일 대응 관계가 수립된다.
• 잘 정의된 방정식의 해가 강한 마르코프 과정임이 입증되어 고전적 마르코프 성질이 무한 차원 설정으로 확장된다.
• 이 틀은 단지 미분 가능한 미분 계수를 갖는 비선형 SPDE에 적용 가능하여 적용 가능한 방정식의 범위를 넓힌다.
• 결과는 허더 연속성의 곱형 소음이 있는 확률 반응-확산 방정식로 확장된다.
• 원추형 유클리드 프로세스의 사용은 무한 차원 소음 구조를 갖는 방정식의 처리를 가능하게 한다.
• 이 방법은 바나흐 공간에서 약한 해와 그 경로 성질을 연구하는 데 있어 강력한 분석 도구를 제공한다.