[논문 리뷰] Matching Statistics of an It\^o Process by a Process of Diffusion Type

Gerard Brunick, Steven E. Shreve|arXiv (Cornell University)|2010. 10. 30.

Stochastic processes and statistical mechanics참고 문헌 33인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 주어진 다차원 Itô 과정의 각 고정된 시간에서 유한차원 분포를 정확히 일치시키는 확산형 확률과정에 대한 약한 해를 구성한다. 이 과정은 누적 최대값, 평균과 같은 통계량을 포함한다. 주요 결과는 원래 Itô 과정에 기반한 엑조틱 파생상품의 가격이 모의 확산 과정에 기반하여도 동일하다는 점으로, 이는 광범위한 종류의 파생상품에 대해 모델에 종속되지 않는 가격 결정을 가능하게 한다.

ABSTRACT

Suppose we are given a multi-dimensional Itô process, which can be regarded as a model for an underlying asset price together with related stochastic processes, e.g., volatility. The drift and diffusion terms for this Itô process are permitted to be arbitrary adapted processes. We construct a weak solution to a diffusion-type equation that matches the distribution of the Itô process at each fixed time. Moreover, we show how to also match the distribution at each fixed time of statistics of the Itô process, including the running maximum and running average of one of the components of the process. A consequence of this result is that a wide variety of exotic derivative securities have the same prices when written on the original Itô process as when written on the mimicking process. 1 Partially supported by the National Science Foundation under Grants No. DMS-0404682 1.1 Contribution of this work In this paper, we show that it is possible to construct a process that mimics

연구 동기 및 목표

• 일반적인 다차원 Itô 과정의 유한차원 분포를 재현하는 확산형 과정을 구성하는 방법을 개발하는 것.
• 이러한 일치를 Itô 과정의 구성 요소에 대한 누적 최대값, 누적 평균과 같은 통계량으로 확장하는 것.
• 원래 Itô 과정에 기반한 엑조틱 파생상품이 모의 확산 과정에 기반하여도 동일한 가격을 가지는 것을 확립하는 것.
• 경로에 종속적인 파생상품에 대한 모델에 종속되지 않는 가격 결정의 이론적 기반을 마련하는 것.

제안 방법

• 스토크스 미분방정식의 약한 해를 사용하여 원래 Itô 과정과 동일한 유한차원 분포를 갖는 확산형 과정을 구성하는 것.
• 각 고정된 시간에서 Itô 과정의 마진널 분포를 일치시키는 시간 변화가 가해진 확산 과정을 구성하는 것.
• 확장된 상태 동역학을 통해 모의 과정의 상태 공간에 누적 통계량(예: 누적 최대값, 누적 평균)을 통합하는 것.
• 고정된 시간에서 분포 동치성을 보장하기 위해 마틴갈 representation 및 시간 변화 기법을 적용하는 것.
• 경로에 종속적인 기능량을 일치시키기 위해 Dambis–Dubins–Schwarz 정리와 국소 시간 기법을 사용하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반적인 Itô 과정의 각 고정된 시간에서 그 유한차원 분포와 일치하는 확산형 과정을 구성할 수 있는가?
• RQ2 마진널 분포 외에도 구성 요소의 누적 최대값 및 누적 평균과 같은 경로에 종속적인 통계량의 분포를 일치시킬 수 있는가?
• RQ3 원래 Itô 과정에 기반한 엑조틱 파생상품의 가격이 모의 확산 과정에 기반하여도 동일한가?
• RQ4 이러한 모의 구성이 가능한 조건으로서 Itô 과정의 드리프트 및 확산 계수에 어떤 조건이 필요한가?

주요 결과

• 각 고정된 시간에서 원래 Itô 과정의 유한차원 분포와 일치하는 확산형 과정에 대해 약한 해가 존재한다.
• 모의 과정은 Itô 과정의 구성 요소에 대한 누적 최대값 및 누적 평균의 분포를 일치시킬 수 있도록 구성될 수 있다.
• Itô 과정의 경로에 따라 지급되는 엑조틱 파생상품은 모의 확산 과정에 기반하여도 동일한 가격을 가진다.
• 드리프트 및 확산 계수가 적응 과정이면, 그 구체적인 형태에 관계없이 결과가 성립한다.