[논문 리뷰] Mathematical analysis of stochastic models for tumor-immune systems

O. Chis, Dumitru Opriş|ArXiv.org|2009. 06. 15.

Mathematical Biology Tumor Growth참고 문헌 18인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 생물학적 소음을 포착하기 위해 위너 과정에 의해 구동되는 이토 스토크래틱 미분방정식을 사용하여 종양-면역 상호작용의 확률적 모델에 대한 수학적 분석을 제안한다. 리아프노프 지수 분석과 2차 오차의 오일러 스킴을 적용하여 쿠즈네цов-테일러 및 벨 유형 모델에서 평형점에서의 확률적 안정성을 평가하며, 매개변수에 의존하는 소음이 장기적인 종양 동역학과 면역 반응 지속성에 미치는 영향을 입증한다.

ABSTRACT

In this paper we investigate some stochastic models for tumor-immune systems. To describe these models we used a Wiener process, as the noise has a stabilization effect. Their dynamics are studied in terms of stochastic stability in the equilibrium points, by constructing the Lyapunov exponent, depending on the parameters that describe the model. We have studied and analyzed a Kuznetsov-Taylor like stochastic model and a Bell stochastic model for tumor-immune systems. These stochastic models are studied from stability point of view and they were represented using the Euler second order scheme.

연구 동기 및 목표

• 위너 과정을 사용하여 랜덤한 외란 하에서 종양-면역 상호작용 모델의 확률적 안정성을 조사하기.
• 쿠즈네цов-테일러 및 벨 유형 종양-면역 모델에서 평형점의 안정성에 소음이 미치는 영향을 분석하기.
• 이러한 모델에서 스토크래틱 미분방정식의 수치 시뮬레이션을 위해 2차 오차 오일러 스킴을 개발하고 적용하기.
• 스토크래틱 시스템에서 거의 확실히 지수적 안정성을 측정하기 위해 리아프노프 지수를 계산하기.
• 포커-플랑크 방정식을 사용하여 단계 변수의 불변 확률 분포를 유도하고 수치적으로 검증하기.

제안 방법

• 위너 과정 노이즈를 포함한 이토 스토크래틱 미분방정식을 사용하여 쿠즈네цов-테일러 및 벨 종양-면역 모델의 확률적 버전을 수립한다.
• 드리프트, 확산 및 고차항 보정 항을 포함한 2차 수준의 약한 수렴을 가지는 2차 오차 오일러 스킴을 적용한다.
• 단계 변수 θ의 불변 확률 밀도 함수를 위한 포커-플랑크 방정식을 유도하여 장기적 통계 분석을 가능하게 한다.
• 불변 분포에 의해 가중된 드리프트 및 확산 계수의 통합을 통해 리아프노프 지수를 계산한다: λ = ∫[q₁(θ) + ½(q₄(θ)² - q₂(θ))]p(θ)dθ.
• 수치 시뮬레이션에서 위너 증분을 위한 표준 정규 변량을 생성하기 위해 박스-멀러 방법을 사용한다.
• 균일한 격자에 N개의 점을 사용한 후진 차분 스킴을 통해 포커-플랑크 방정식을 수치적으로 해결한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 위너 과정에서 유래한 덧셈적 노이즈가 종양-면역 모델의 평형 상태에서의 확률적 안정성에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ2 리아프노프 지수가 스토크래틱 종양-면역 시스템에서 거의 확실히 지수적 안정성을 결정하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ3 쿠즈네цов-테일러 모델에서 매개변수의 변화가 확률적 외란 하에서 안정 및 비안정 평형점 간의 전이에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ4 포커-플랑크 방정식을 사용하여 단계 변수의 불변 확률 분포를 해석적으로 및 수치적으로 근사화할 수 있는가?
• RQ5 이러한 스토크래틱 시스템에서 기존 오일러 스킴 대비 2차 오차 오일러 스킴이 수치 시뮬레이션의 정확도를 얼마나 향상시키는가?

주요 결과

• 리아프노프 지수는 p(θ)가 포커-플랑크 방정식에서 유도된 불변 확률 밀도일 때 λ = ∫[q₁(θ) + ½(q₄(θ)² - q₂(θ))]p(θ)dθ로 계산된다.
• 행렬 B = [α, -β; β, α]인 특수한 경우에 대해 불변 분포는 p(θ) = K / β² exp{[ (a₂₁ - a₁₂ - αβ)θ + ½(a₁₁ - a₂₂)cos(2θ) + ½(a₂₁ - a₁₂)sin(2θ) ] / β²}로 주어지며, K는 정규화를 보장한다.
• 리아프노프 지수는 λ = ½(a₁₁ + a₂₂ + β² - α²) + ½(a₁₁ - a₂₂)c₂ + ½(a₂₁ + a₁₂)s₂로 단순화되며, 여기서 c₂와 s₂는 p(θ)에 대해 cos(2θ)와 sin(2θ)의 적분이다.
• Maple 12와 2차 오차 오일러 스킴을 사용한 수치 시뮬레이션은 스토크래틱 모델의 2차 수준의 약한 수렴을 확인한다.
• 단계 분포는 h = π/N인 격자 위에서 후진 차분 스킴을 통해 근사되며, F(i)와 p(i)를 포함한 재귀 관계를 만족한다.
• 포커-플랑크 방정식은 첫 번째 순서의 상미분방정식으로 해결된다: (−q₃(θ) + q₁(θ)q₄(θ) + q₂(θ)q₅(θ))p(θ) + ½q₄(θ)²p′(θ) = p₀, 여기서 q₅(θ)는 2θ의 삼각함수로 정의된다.