[论文解读] $\mathrm{FI}_G$-modules, orbit configuration spaces, and complex reflection groups

Kevin Casto|arXiv (Cornell University)|Aug 22, 2016

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 21被引用 5

一句话总结

本文为有限群及拟多项式群 $G$ 建立了 $\mathrm{FI}_G$-模的理论，证明了在轨道配置空间、Fouxe-Rabinovitch 群及其他 $W_n = G^n \rtimes S_n$-模的上同调与同伦群中，表示稳定性具有特征多项式与 $K_0$-稳定性。研究证明，这些表示的特征标由通用多项式控制，且维数呈多项式稳定，将 Church-Ellenberg-Farb 与 Wilson 的工作推广至复反射群与无限群。

ABSTRACT

The category $\mathrm{FI}_G$ was first defined and explored by Sam-Snowden. Here, we develop more of the machinery of $\mathrm{FI}_G$-modules and find numerous examples to apply it to, extending the work of Church-Ellenberg-Farb and Wilson. In particular we develop a notion of character polynomials for $\mathrm{FI}_G$-modules with $G$ finite, a notion of representation stability which we call $K_0$-stability even when $G$ is infinite virtually polycyclic, and apply the notion of finite presentation degree when $G$ is a general infinite group. We use this to analyze numerous families of $(G^n times S_n)$-modules, such as: -the cohomology and homotopy groups of orbit configuration spaces -the diagonal coinvariant algebra of complex reflection groups -the homology of affine pure braid groups of type $\widetilde{A}_n$ and $\widetilde{C}_n$ -the cohomology of Fouxe-Rabinowitsch groups and many more examples.

研究动机与目标

• 将 $\mathrm{FI}_G$-模理论从有限群推广至拟多项式群及无限群。
• 当 $G$ 为无限但拟多项式群时，建立 $W_n = G^n \rtimes S_n$-模的 $K_0$-稳定性形式的表示稳定性。
• 为轨道配置空间与 Fouxe-Rabinovitch 群的上同调与同伦群提供显式的特征多项式。
• 解决非单连通流形与广义 braid 群表示稳定性方面的开放问题。
• 证明具有有限型上同调的群 $G$ 的 Fouxe-Rabinovitch 群 $\operatorname{FR}(G^{*n})$ 的上同调具有有限生成性与稳定性。

提出的方法

• 引入 $K_0$-稳定性作为无限群表示稳定性的推广，利用群环的格罗滕迪克群。
• 将 $\mathrm{FI}_G$-模的工具应用于由轨道配置空间、braid 群及 $\operatorname{FR}(G^{*n})$ 上同调产生的 $W_n$-表示序列。
• 利用同构 $H^*(\operatorname{FR}(G^{*n})) \cong H^*((G^{*n})^{n-1})$ 将上同调实现为 $\mathrm{FI}_{\operatorname{Out}(G)}\sharp$-代数。
• 在 $\widetilde{H}^*(G)^{\oplus n(n-1)}$ 上显式构造 $\mathrm{FI}_G$-模结构，证明其有限生成性与次数界。
• 应用 Sam-Snowden 与 Gan-Li 关于 $\mathrm{FI}_G$-模的诺特性与有限表示次数的结果。
• 通过 $\mathrm{FI}_G$-同态在上同调类上的作用推导出特征多项式，证明其关于 $n$ 的多项式性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过 $K_0$-稳定性将表示稳定性从有限群推广至无限拟多项式群？
• RQ2 当 $G$ 为有限或拟多项式群时，轨道配置空间 $\operatorname{Conf}_n^G(M)$ 的上同调与同伦群是否表现出特征多项式行为？
• RQ3 当 $H^*(G;\mathbb{Q})$ 为有限型时，Fouxe-Rabinovitch 群 $\operatorname{FR}(G^{*n})$ 的上同调是否为有限型 $\mathrm{FI}_{\operatorname{Out}(G)}\sharp$-代数？
• RQ4 Wilson 对 $\mathrm{FI}_{\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}}$-代数的结果能否推广至一般 $G$ 的 $\mathrm{FI}_G$-模？
• RQ5 像 $H^1(P(d,n);\mathbb{C})$ 这类序列的重数与维数的精确稳定范围为何？

主要发现

• 当 $G = \mathbb{Z}/d\mathbb{Z}$ 时，上同调 $H^1(P(d,n);\mathbb{C})$ 分解为 $L((n)_{\chi_0}) \oplus L((n-1,1)_{\chi_0}) \oplus \bigoplus_{\chi \in \operatorname{Irr}(G)} L((n-2)_{\chi_0},(2)_{\chi})$，稳定从 $n \geq 2$ 开始。
• 当 $G$ 具有有限型上同调且 $\operatorname{Out}(G)$ 有限时，$H^i(\operatorname{FR}(G^{*n});\mathbb{C})$ 的特征标由一个次数为 $2i$ 的单一特征多项式对所有 $n$ 给出。
• 当 $G$ 有限时，序列 1–6 中每个不可约 $W_n$-表示的重数最终与 $n$ 无关，且 $\dim V_n$ 最终关于 $n$ 呈多项式。
• 当 $H^*(G;\mathbb{Q})$ 为有限型时，$H^*(\operatorname{FR}(G^{*n});\mathbb{Q})$ 是有限型 $\mathrm{FI}_{\operatorname{Out}(G)}\sharp$-代数。
• $G$ 为拟多项式群时，$H_i(\operatorname{Conf}_n^G(M);\mathbb{Q})$ 与 $H_i(P_{\widetilde{A}_{n-1}};\mathbb{Q})$ 的 $K_0$-稳定性成立，即使 $G$ 为无限群。
• 当 $G = \mathbb{Z}$ 时，上同调 $H^1(\operatorname{FR}(G^{*n});\mathbb{Q})$ 的维数为 $n(n-1)\cdot \dim H^1(G;\mathbb{Q})$，且 $\operatorname{Out}(G) \wr S_n$-表示在 $K_0$ 意义下稳定。