[논문 리뷰] Matrix Models and Geometry of Moduli Spaces

Leonid Chekhov|ArXiv.org|1995. 09. 01.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 17인용 수 18

한 줄 요약

이 논문은 $\Lambda$, $X$, 및 로그 항을 포함하는 특정 포텐셜을 사용하여 리만 곡면의 이산화된 모듈리 공간 ${\overline{\cal M}}_{g,n}^{\text{disc}}$ 를 위한 행렬 모델 공식을 제시한다. 이 모델의 분할 함수는 짝수 시간 $t^\pm_{2n}$ 로 표현되며, 컨트세비치 유사 생성 함수와 이차 미분 연산자로 인해 인수분해됨을 보이며, 이산화된 공간에서의 교차 수가 연속 공간의 모듈리 공간에서의 것과 최고 차수의 코homology 계열에서 일치함을 증명한다.

ABSTRACT

We give the description of discretized moduli spaces (d.m.s.) $\Mcdisc$ introduced in \cite{Ch1} in terms of discrete de Rham cohomologies for moduli spaces $\Mgn$. The generating function for intersection indices (cohomological classes) of d.m.s. is found. Classes of highest degree coincide with the ones for the continuum moduli space $\Mc$. To show it we use a matrix model technique. The Kontsevich matrix model is the generating function in the continuum case, and the matrix model with the potential $Nα r {\bigl(- \fr 14 ŁXŁX -\fr12\log (1-X)-\fr12X\bigr)}$ is the one for d.m.s. In the latest case the effects of Deligne--Mumford reductions become relevant, and we use the stratification procedure in order to express integrals over open spaces $\Mdisc$ in terms of intersection indices, which are to be calculated on compactified spaces $\Mcdisc$. We find and solve constraint equations on partition function $\cal Z$ of our matrix model expressed in times for d.m.s.: $t^\pm_m= r \fr{\d^m}{\dł^m}\fr1{\e^ł-1}$. It appears that $\cal Z$ depends only on even times and ${\cal Z}[t^\pm_\cdot]=C(åN) \e^{\cal A}\e^{F(\{t^{-}_{2n}\}) +F(\{-t^{+}_{2n}\})}$, where $F(\{t^\pm_{2n}\})$ is a logarithm of the partition function of the Kontsevich model, $\cal A$ being a quadratic differential operator in $\dd{t^\pm_{2n}}$.

연구 동기 및 목표

• 이산 de Rham 코homology를 사용하여 이산화된 모듈리 공간 ${\overline{\cal M}}_{g,n}^{\text{disc}}$ 의 기하학을 기술하기.
• 이산화된 모듈리 공간 위에서 교차 지수를 생성하는 분할 함수를 갖는 행렬 모델을 유도하기.
• 이산화된 공간의 최고 차수 코homology 계열이 연속 공간 ${\overline{\cal M}}_{g,n}$ 과 일치함을 보이기.
• 시간 $t^{\pm}_m$ 을 $1/(e^\lambda - 1)$ 의 도함수로 정의한 바, 분할 함수 $\cal Z$ 에 대한 제약 방정식을 해결하기.
• 컨트세비치 모델의 로그 분할 함수와 이차 미분 연산자를 포함하는 분할 함수의 인수분해 형태를 확립하기.

제안 방법

• 이산화된 모듈리 공간을 모델링하기 위해 포텐셜 $N\alpha\,{\rm tr}\left(-\frac{1}{4}\Lambda X\Lambda X - \frac{1}{2}\log(1-X) - \frac{1}{2}X\right)$ 을 사용하는 행렬 모델의 사용.
• 열린 공간 ${\cal M}_{g,n}^{\text{disc}}$ 에 대한 적분을 컴act화된 공간 ${\overline{\cal M}}_{g,n}^{\text{disc}}$ 에서의 교차 지수와 연결하기 위해 분할 절차의 적용.
• 시간 $t^{\pm}_m = {\rm tr}\left( \frac{\partial^m}{\partial \lambda^m} \frac{1}{e^\lambda - 1} \right)$ 의 정의로 분할 함수를 매개변수화하기.
• 분할 함수 $\cal Z$ 에 대한 제약 방정식 유도 및 생성 함수 기법을 통한 해법.
• $\cal Z$ 를 $C(\alpha N)\,{\rm e}^{\cal A} \,{\rm e}^{F(\{t^{-}_{2n}\}) + F(\{-t^{\pm}_{2n}\})}$ 로 표현하며, 여기서 $F$ 는 컨트세비치 모델의 로그 분할 함수이다.
• 파라미터 $\alpha$ 와 $N$ 에 대한 페르투브레이션 전개를 사용하여 저유전도 항을 계산하며, 한정된 경우에 대해 유전도 2의 경우를 명시적으로 계산함.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 이산화된 모듈리 공간 ${\overline{\cal M}}_{g,n}^{\text{disc}}$ 는 어떻게 이산 de Rham 코homology 를 사용하여 기술할 수 있는가?
• RQ2 어떤 행렬 모델 포텐셜이 이산화된 모듈리 공간 위에서 교차 수를 생성하는가?
• RQ3 이산화된 공간의 최고 차수 코homology 계열이 연속 공간의 모듈리 공간 ${\overline{\cal M}}_{g,n}$ 과 일치하는가?
• RQ4 시간 $t^{\pm}_m$ 이 $1/(e^\lambda - 1)$ 의 $\partial^m / \partial \lambda^m$ 도함수로 정의될 때, 분할 함수 $\cal Z$ 를 어떻게 제약하는가?
• RQ5 분할 함수 $\cal Z$ 는 컨트세비치 모델 성분과 이차 미분 연산자로 인수분해될 수 있는가?

주요 결과

• 행렬 모델의 분할 함수 $\cal Z$ 는 짝수 시간 $t^{\pm}_{2n}$ 에만 의존함을 보이며, 이는 시스템의 대칭성을 나타낸다.
• 분할 함수는 $\cal Z[t^{\pm}_{\cdot}] = C(\alpha N)\,{\rm e}^{\cal A}\,{\rm e}^{F(\{t^{-}_{2n}\}) + F(\{-t^{+}_{2n}\})}$ 로 인수분해되며, 여기서 $F$ 는 컨트세비치 모델의 분할 함수의 로그이다.
• 이차 미분 연산자 $\cal A$ 는 시간 $t^{\pm}_{2n}$ 에 작용하여 컨트세비치 모델의 기여를 수정한다.
• 이산화된 모듈리 공간 ${\overline{\cal M}}_{g,n}^{\text{disc}}$ 는 연속 공간 ${\overline{\cal M}}_{g,n}$ 과 동일한 최고 차수의 교차 수를 재현한다.
• 유전도 2, 한 개의 구멍이 있는 경우, 계수 $\langle\tau_4\rangle_2 = \frac{1}{1152}$ 는 $w_2(\lambda)$ 의 페르투브레이션 전개에서의 주요 항으로 명시적으로 계산된다.
• $\alpha$ 와 $N$ 에 대한 $w(\lambda)$ 의 페르투브레이션 전개는 $\cal F_1$, $\cal F_2$, $\cal F_3$ 를 홀수 시간 $\xi^\pm_{2n+1}$ 으로 표현하며, 기존의 컨트세비치 모델 결과와 일치한다.