[논문 리뷰] Maximal determinants and saturated D-optimal designs of orders 19 and 37

Richard P. Brent, William P. Orrick외 2명|arXiv (Cornell University)|2011. 12. 18.

Optimal Experimental Design Methods참고 문헌 15인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 두 단계의 계산 방법을 사용하여 순서 19 및 37인 {+1, -1} 행렬에 대한 최대 행렬식 문제를 해결한다: 먼저 후보 그람 행렬을 식별하고, 그 후에 유효한 설계로 분해한다. 순서 19에 대해 알려진 설계의 최대성은 확인되었고, 순서 37에 대한 최대 행렬식은 $2^{39} \times 3^{36}$임을 증명하며, 서로 동치가 아닌 D-최적 설계가 여러 개 발견되었다.

ABSTRACT

A saturated D-optimal design is a {+1,-1} square matrix of given order with maximal determinant. We search for saturated D-optimal designs of orders 19 and 37, and find that known matrices due to Smith, Cohn, Orrick and Solomon are optimal. For order 19 we find all inequivalent saturated D-optimal designs with maximal determinant, 2^30 x 7^2 x 17, and confirm that the three known designs comprise a complete set. For order 37 we prove that the maximal determinant is 2^39 x 3^36, and find a sample of inequivalent saturated D-optimal designs. Our method is an extension of that used by Orrick to resolve the previously smallest unknown order of 15; and by Chadjipantelis, Kounias and Moyssiadis to resolve orders 17 and 21. The method is a two-step computation which first searches for candidate Gram matrices and then attempts to decompose them. Using a similar method, we also find the complete spectrum of determinant values for {+1,-1} matrices of order 13.

연구 동기 및 목표

• 순서 19 및 37인 {+1, -1} 행렬의 최대 행렬식을 결정하며, 포화된 D-최적 설계에 중점을 둔다.
• 이미 알려진 순서 19 설계가 실제로 최적이며 동치를 제외한 전체 목록인지 확인한다.
• 순서 37에 대한 정확한 최대 행렬식을 확립하며, 이는 이전에 열려 있던 문제였다.
• 특히 4로 나눈 나머지가 3인 더 큰 홀수 순서에 대해 최대 행렬식 문제를 해결하기 위한 계산 방법을 확장한다.
• 기존 결과를 연장하여 순서 13인 {+1, -1} 행렬의 모든 행렬식 값의 스펙트럼을 완전히 계산한다.

제안 방법

• 두 단계의 계산적 접근을 사용한다: 먼저 필수적인 구조적 조건과 행렬식 한계를 만족하는 후보 그람 행렬을 검색하고, 그 후에 {+1, -1} 설계로 분해를 尝시한다.
• 백트래킹 알고리즘을 사용하여 분해 단계를 수행하며, 이는 자동화된 방법이며 이 맥락에서 이전에 발표된 바가 없었다.
• 에히리히와 바르바의 이론적 한계를 적용하여 검색 공간을 줄이며, 특히 그람 행렬의 블록 구조를 활용한다.
• 기호 정규화를 사용하여 중복을 줄이고 설계 표현의 유일성을 확보한다.
• {+1, -1} 행렬과 {0, 1} 행렬 사이의 대응 관계를 $(-2)^{n-1}$의 행렬식 스케일링을 통해 활용하여 결과를 검증한다.
• 순서 15(오릭) 및 이전 순서들(17, 21)에 사용된 방법을 일반화하여 순서 19 및 37를 처리하며, 특히 그람 행렬에 3이 포함된 행렬의 구조를 활용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 순서 19인 {+1, -1} 행렬의 최대 행렬식이 $2^{30} \times 7^2 \times 17$인지, 그리고 이에 해당하는 세 개의 서로 동치가 아닌 설계가 완전한지 여부는?
• RQ2 순서 37인 {+1, -1} 행렬의 정확한 최대 행렬식 값은 무엇이며, 서로 동치가 아닌 여러 개의 D-최적 설계를 구성할 수 있는가?
• RQ3 순서 15에 사용된 방법을 4로 나눈 나머지가 3인 더 높은 홀수 순서, 특히 19 및 37로 확장할 수 있는가?
• RQ4 순서 13인 {+1, -1} 행렬의 모든 행렬식 값 스펙트럼은 무엇이며, 더 작은 순서들과 비교해 보면 어떠한가?
• RQ5 이 방법을 사용하여 아직 해결되지 않은 순서들인 29, 33, 45, 49, 53, 57에 대해 더 강력한 상한을 확립할 수 있는가?

주요 결과

• 순서 19에 대한 최대 행렬식은 $2^{30} \times 7^2 \times 17$로 확인되었으며, 이 값과 동일한 모든 서로 동치가 아닌 포화된 D-최적 설계가 발견되어 기존에 알려진 목록이 완전함을 확인하였다.
• 순서 37에 대해 최대 행렬식은 $2^{39} \times 3^{36}$로 증명되었으며, 이는 이전에 열려 있던 케이스를 해결한 것이다.
• 순서 37에 대해 서로 동치가 아닌 포화된 D-최적 설계의 샘플이 구성되었으며, 서로 다른 해가 존재함을 입증하였다.
• 순서 13인 {+1, -1} 행렬의 모든 행렬식 값 스펙트럼이 계산되었으며, 기존의 순서 11까지의 스펙트럼을 연장하였다.
• 4로 나눈 나머지가 3인 순서에 대해 가장 작은 해결되지 않은 케이스를 성공적으로 해결하였으며, 이러한 순서에 대한 에히리히 한계의 복잡성에도 불구하고 성공하였다.
• 29, 33, 45, 49, 53, 57 순서들에 대해 개선된 상한이 확립되어 알려진 상한과 하한 사이의 격차가 감소하였다.