[논문 리뷰] Maximal estimates for the bilinear spherical averages and the bilinear Bochner-Riesz operators

Eun-Hee Jeong, Sanghyuk Lee|arXiv (Cornell University)|2019. 03. 19.

Advanced Harmonic Analysis Research참고 문헌 44인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 이중선형 구면 최대함수와 최대 이중선형 보흐너-리츠 연산자에 대한 날카운 $L^p \times L^q \to L^r$ 추정을 수립하여 오랫동안 미해결이었던 문제를 해결하며, 최적의 지수 범위를 규명한다. 이중선형 구면 최대함수는 $ r > \frac{d}{2d-1} $ 이고 허더 조건이 성립할 때에만 유계임을 증명하며, 강한 유계성 추정이 실패하는 끝점의 경우 루프스 공간에서 약한 유형 추정도 함께 제시한다.

ABSTRACT

We study the maximal estimates for the bilinear spherical average and the bilinear Bochner-Riesz operator. Firstly, we obtain $L^p imes L^q o L^r$ estimates for the bilinear spherical maximal function on the optimal range. Thus, we settle the problem which was previously considered by Geba, Greenleaf, Iosevich, Palsson and Sawyer, later Barrionevo, Grafakos, D. He, Honzík and Oliveira, and recently Heo, Hong and Yang. Secondly, we consider $L^p imes L^q o L^r$ estimates for the maximal bilinear Bochner-Riesz operators and improve the previous known results. For the purpose we draw a connection between the maximal estimates and the square function estimates for the classical Bochner-Riesz operators.

연구 동기 및 목표

• 이중선형 구면 최대함수에 대한 $L^p \times L^q \to L^r$ 유계성의 전체 범위를 규명하는 열린 문제를 해결하기 위해.
• 기존의 이중선형 보흐너-리츠 연산자에 대한 최대 추정 결과를 개선하기 위해 고전적 보흐너-리츠 연산자의 제곱함수 추정과 연결함으로써.
• 강한 유형 추정이 실패하는 끝점의 경우에 대해 루프스 공간에서 날카운 약한 유형 추정을 수립하기 위해.
• 이중선형 구면 최대함수에 대한 최적 지수의 전체 범위를 완전히 특성화하고, 날카운성 결과를 제시하기 위해.

제안 방법

• 이중선형 구면 최대함수의 승수 분해와 표면측도 $d\sigma_{2d-1}$의 푸리에 변환의 점근 전개를 통해 $L^p \times L^q \to L^r$ 유계성 추정을 수립한다.
• 웨이블릿 분해와 보간 기법을 사용하여 $L^2 \times L^2 \to L^1$ 끝점의 경우를 다룬다.
• 고전적 보흐너-리츠 연산자에 대한 최대 추정과 제곱함수 추정 간의 연결을 응용하여 이중선형 경우의 추정을 유도한다.
• 부분적 적분과 커널의 감쇠 추정을 활용하여 이중분할에서 발생하는 오차항을 제어한다.
• 횔더 부등식과 최대함수 추정을 사용하여 최대함수의 $L^r$ 노름을 제어한다.
• 승수의 동차성에 따라 $L^2$와 $L^\infty$ 추정 간의 보간을 적용하여 균일한 추정을 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 이중선형 구면 최대함수에 대한 $L^p \times L^q \to L^r$ 유계성의 완전한 범위는 무엇인가?
• RQ2 이중선형 구면 최대함수의 날카운 끝점 추정은 루프스 공간의 관점에서 어떻게 특성화될 수 있는가?
• RQ3 이중선형 보흐너-리츠 연산자에 대한 최대 추정은 고전적 보흐너-리츠 연산자의 제곱함수 추정과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ4 최대 이중선형 보흐너-리츠 연산자에 대한 최적 지수의 범위는 무엇이며, 이는 이전 결과와 어떻게 비교되는가?
• RQ5 이중선형 구면 최대함수의 유계성에 대해 조건 $ r > \frac{d}{2d-1} $ 는 필수적이고 충분한가?

주요 결과

• 이중선형 구면 최대함수 $ \mathcal{M} $ 는 $ r > \frac{d}{2d-1} $ 이고 $ \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = \frac{1}{r} $ 이면 $ \|\mathcal{M}(f,g)\|_{L^r} \lesssim \|f\|_{L^p}\|g\|_{L^q} $ 를 만족하며, $ (p,q,r) = (1,\infty,1) $ 및 $ (\infty,1,1) $ 의 경우를 제외한 모든 경우에 대해 성립한다.
• 루프스 공간에서의 약한 유형 추정이 성립한다: $ \|\mathcal{M}(f,g)\|_{L^{r,u}} \lesssim \|f\|_{L^{p,s}}\|g\|_{L^{q,t}} $ 이며, 끝점의 경우에 대해 $ u,s,t $ 에 대한 명시적 조건이 존재한다.
• $ p = r = 1 $ 인 경우, $ u = t = \infty $, $ s = 1 $ 이고, $ p $ 와 $ q $ 가 서로 바뀌어도 동일하게 성립한다.
• $ p = 1 $, $ q = \frac{d}{d-1} $ 인 경우, $ d \geq 3 $ 이면 $ u = \infty $, $ s = t = 1 $ 이며 추정이 성립한다.
• $ 1 < p < \frac{d}{d-1} $, $ r = \frac{d}{2d-1} $ 인 경우, $ u = \infty $ 이고 $ \frac{1}{s} + \frac{1}{t} = \frac{2d-1}{d} $, $ s,t > 0 $ 이면 추정이 성립한다.
• 최대 이중선형 보흐너-리츠 연산자는 고전적 보흐너-리츠 연산자의 제곱함수 추정과의 연결을 통해 개선된 $L^p \times L^q \to L^r$ 추정을 만족함을 보였다.