[논문 리뷰] Maximum likelihood quantum state tomography is inadmissible

Christopher Ferrie, Robin Blume-Kohout|arXiv (Cornell University)|2018. 08. 03.

Sparse and Compressive Sensing Techniques참고 문헌 15인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 최대우도추정(MLE)이 허밀토니안-스미스 거리, 상대 엔트로피와 같은 일반적인 정확도 척도에서 양자 상태 톰그래피에서 비최적임을 보여준다. 순수 상태를 보고하는 추정기들이 항상 '허들' 추정기, 즉 순수 상태를 피하는 추정기보다 열등함을 보여줌으로써, 저자들은 MLE가 널리 사용되고 통계적 기반을 지니고 있음에도 불구하고 거의 모든 경우에서 최적성이 아님을 증명한다.

ABSTRACT

Maximum likelihood estimation (MLE) is the most common approach to quantum state tomography. In this letter, we investigate whether it is also optimal in any sense. We show that MLE is an inadmissible estimator for most of the commonly used metrics of accuracy, i.e., some other estimator is more accurate for every true state. MLE is inadmissible for fidelity, mean squared error (squared Hilbert-Schmidt distance), and relative entropy. We prove that almost any estimator that can report both pure states and mixed states is inadmissible. This includes MLE, compressed sensing (nuclear-norm regularized) estimators, and constrained least squares. We provide simple examples to illustrate why reporting pure states is suboptimal even when the true state is itself pure, and why "hedging" away from pure states generically improves performance.

연구 동기 및 목표

• 표준 정확도 척도 하에서 최대우도추정(MLE)이 양자 상태 톰그래피에서 최적인지 조사하기.
• 순수 상태를 보고하는 추정기가 다른 추정기보다 엄격히 열등해질 수 있는지 확인하기.
• 통계적 의사결정이론에서 MLE 및 유사 추정기들이 비최적임을 규정하는 조건 설정하기.
• 분석적 및 수치적 예시를 통해 순수 상태를 피하는 것이 추정 정확도를 향상시킴을 보여주기.

제안 방법

• 저자들은 충실도, 힐베르트-스미스 거리, 상대 엔트로피 척도 하에서 위험 함수 기반 추정기 평가를 위해 통계적 의사결정이론을 사용한다.
• 최대혼합 상태 쪽으로 약간의 편향을 도입하여 순수 상태를 체계적으로 피하는 '허들' 추정기를 구성한다.
• 네 개의 파울리 측정이 있는 리벳 모델에 대해, 힐베르트-스미스 위험을 분석적으로 계산하고 MLE 및 허들 추정기를 비교한다.
• 표본 크기(N=10에서 100까지)에 따라 변하는 모든 세 개의 파울리 측정이 있는 전체 큐비트 모델로 분석을 확장한다.
• 표본 크기 간 비교를 가능하게 하기 위해 위험 차이를 N으로 스케일링하고, 대칭축(Z 및 (1,1,1))에 따라 플롯한다.
• 모든 데이터와 일치하는 두 개의 서로 다른 순수 상태를 보고하는 모든 추정기는 지정된 척도 하에서 비최적임을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 표준 양자 상태 톰그래피 오차 척도 하에서 최대우도추정은 비최적인가?
• RQ2 모든 진짜 양자 상태에서 순수 상태를 보고하는 추정기가 다른 추정기보다 엄격히 열등해질 수 있는가?
• RQ3 MLE 및 관련 방법에서 순수 상태를 보고하는 습관이 최적 성능을 이끌어내지 못하는가?
• RQ4 최대혼합 상태 쪽으로 단순한 편향이 항상 추정 정확도를 향상시킬 수 있는가?
• RQ5 MLE가 일반적으로 비최적임에도 불구하고, 분석적 또는 수치적 조건에서 MLE가 최적임을 보장할 수 있는가?

주요 결과

• 충실도 척도 하에서 MLE는 비최적임을 의미하며, 모든 진짜 양자 상태에서 더 나은 성능을 보이는 다른 추정기가 존재한다.
• 동일한 비최적성은 평균제곱오차(제곱 힐베르트-스미스 거리) 및 상대 엔트로피 척도에서도 성립한다.
• 순수 상태를 피하는 허들 추정기는 모든 테스트된 표본 크기(N=4에서 100까지)에서 MLE 및 제약 조건이 있는 최소제곱 추정기보다 항상 뛰어난 성능을 보인다.
• N=4 측정이 있는 리벳 모델에서, 허들 추정기는 분석적으로 r=(0,1)에서 위험을 계산하여 전역적으로 힐베르트-스미스 위험을 감소시킴을 확인했다.
• 모든 N에 대해 스케일된 위험 차이가 양수를 유지하여, 허들 추정기가 블로흐 구상의 Z 축과 (1,1,1) 축을 따라 우세함을 보였다.
• 모든 데이터와 일치하는 두 개의 서로 다른 순수 상태를 보고하는 모든 추정기는 연구된 세 가지 척도 하에서 비최적임을 입증했다.