[논문 리뷰] Maximum norm error estimates for the finite element approximation of parabolic problems on smooth domains

Takahito Kashiwabara, Tomoya Kemmochi|arXiv (Cornell University)|2018. 05. 03.

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics참고 문헌 19인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 매끄럽고 비볼록일 수 있는 영역에서 비균일 뉴만 경계 조건을 갖는 포물선 문제에 유한요소법을 적용할 때 최대노름 오차 추정을 수립한다. 매끄러운 영역 $\Omega$를 다각형 영역 $\Omega_h$로 근사함으로써, 비영인 대칭차이 $\Omega \triangle \Omega_h$로 인해 고차원 유한요소일지라도 수렴 속도가 $O(h^2|\log h|)$임을 보여주는 $L^\infty$ 오차 추정을 도출한다. 분석은 경계의 튜브형 이웃 영역을 도입하여 영역 근사 오차를 다루며, 이로부터 이산 스무딩 및 최대정규성 성질을 보조정리로 도출한다.

ABSTRACT

In this paper, we consider the finite element approximation for a parabolic problem on a smooth domain $Ω\subset \mathbb{R}^N$ with the inhomogeneous Neumann boundary condition. We emphasize that the domain can be non-convex in general. We implement the finite element method for this problem by constructing a family of polygonal or polyhedral domains $\{ Ω_h \}_h$ that approximate the original domain $Ω$. The main result of this study is the $L^\infty$-error estimate for this approximation. We shall show that the convergence rate is not optimal for higher order elements since the symmetric difference $Ω\bigtriangleup Ω_h$ is not empty in general. In order to address the effect of the symmetric difference of domains, we introduce the tubular neighborhood of the original boundary $\partialΩ$. We will also present a slightly new approach to establish the $L^\infty$-error estimate. Moreover, we present the smoothing property for the discrete parabolic semigroup and the spatially discretized maximal regularity as corollaries of the main result.

연구 동기 및 목표

• 매끄럽고 비볼록일 수 있는 영역에서 포물선 문제의 유한요소 근사에 대한 $L^\infty$ 오차 추정을 유도하는 것.
• 다각형 부분영역 $\Omega_h$를 통한 영역 근사가 최대노름에서 수렴 속도에 미치는 영향을 분석하는 것.
• 반연속 유한요소 스킴에 대한 이산 스무딩 및 최대정규성 성질을 확립하는 것.
• 경계의 튜브형 이웃 영역을 사용하여 대칭차이 $\Omega \triangle \Omega_h$의 영향을 다루는 것.

제안 방법

• 경계 $\partial\Omega$ 위에 정점 배치를 통해 매끄러운 영역 $\Omega$를 근사하는 다각형 또는 다면체 영역의 가족 $\{\Omega_h\}$을 구성하는 것.
• 영역 $\Omega_h$에 대한 적합하고 형태가 규칙적이며 균일한 삼각분할 $\mathcal{T}_h$를 사용하여 $P^k$-유한요소 공간 $V_h \subset H^1(\Omega_h)$를 정의하는 것.
• 확장된 자료 $\tilde{f}$, $\tilde{g}$ 및 초기 자료 $u_{h,0}$를 사용한 약한 형태를 이용한 반연속 유한요소 스킴 (1.2)를 설정하는 것.
• 대칭차이 $\Omega \triangle \Omega_h$로 인해 발생하는 오차를 정량화하고 제어하기 위해 $\partial\Omega$의 튜브형 이웃 영역을 도입하는 것.
• 그린 함수 분석과 포물선 이진분할 기반의 새로운 접근을 통해 $L^\infty$ 오차 추정을 적용하는 것.
• 주 오차 추정의 보조정리로 이산 스무딩 및 최대정규성 추정 (1.5) 및 (1.6)을 도출하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 다각형 부분영역으로 근사된 매끄러운 영역에서 포물선 문제의 유한요소 근사에 대해 최적의 $L^\infty$ 수렴 속도는 무엇인가요?
• RQ2 대칭차이 $\Omega \triangle \Omega_h$는 고차원 요소일 경우 $L^\infty$ 오차 추정에 어떻게 영향을 미치나요?
• RQ3 비영인 경계-스킨 층이 존재하는 영역 근사 하에서 이산 포물선 반군과 이산 최대정규성 성질을 확립할 수 있는가요?
• RQ4 경계의 튜브형 이웃 영역은 최대노름에서 영역 근사 오차를 정량화하는 데 얼마나 기여하는가요?
• RQ5 $\Omega_h = \Omega$를 가정하지 않고 $L^\infty$ 오차 추정을 유도할 수 있으며, 그 결과 수렴 속도는 무엇인가요?

주요 결과

• 반연속 유한요소 스킴에 대한 $L^\infty$ 오차 추정은 $\|\tilde{u} - u_h\|_{L^\infty(Q_{h,T})} \leq C h^{k+1} |\log h|^{\underline{k}} \|u\|_{L^\infty(0,T;W^{k+1,\infty}(\Omega))} + C h^2 |\log h| \left(\|u_t\|_{L^\infty(Q_T)} + \|u\|_{L^\infty(0,T;W^{2,\infty}(\Omega))}\right)$ 이며, 여기서 $\underline{k} = 1$ 이면 $k=1$ 이고, 그 외에는 $0$ 이다.
• 비영인 대칭차이 $\Omega \triangle \Omega_h$로 인해 고차원 요소임에도 불구하고 수렴 속도가 $O(h^2 |\log h|)$로 제한되며, 이는 최적의 $O(h^{k+1})$ 속도를 달성할 수 없게 한다.
• 이산 포물선 반군은 영향력과 경계 자료가 0일 때 모든 $t > 0$ 및 $q \in [1, \infty]$에 대해 $\|u_h(t)\|_{L^q(\Omega_h)} + t\|\partial_t u_h(t)\|_{L^q(\Omega_h)} \leq C e^{-ct} \|u_{h,0}\|_{L^q(\Omega_h)}$ 를 만족하는 스무딩 추정을 만족한다.
• 초기 및 경계 자료가 0일 때 $p,q \in (1,\infty)$ 에 대해 이산 최대정규성 추정 $\|A_h u_h\|_{L^p(0,T;L^q(\Omega_h))} + \|\partial_t u_h\|_{L^p(0,T;L^q(\Omega_h))} \leq C \|f_h\|_{L^p(0,T;L^q(\Omega_h))}$ 이 성립한다.
• 경계-스킨 층의 영향은 왜곡으로 간주되어 표준 스무딩 및 최대정규성 추정을 이산 설정에서 복원할 수 있다.
• 분석은 영역 근사가 존재하는 상황에서 그린 함수의 비연속성과 그 시간 도함수를 엄밀히 다루며, 이로 인해 $L^p$ 공간 내에서 적분 가능성과 유계성 결과를 이끌어낸다.