[논문 리뷰] Maximum principles for a fully nonlinear fractional order equation and symmetry of solutions

Wenxiong Chen, Congming Li외 1명|arXiv (Cornell University)|2016. 04. 16.

Nonlinear Partial Differential Equations참고 문헌 17인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 일반 함수 $ G $ 를 포함하는 완전 비선형 비국소 연산자에 대해 최대원리, 특히 좁은 영역 원리와 무한대에서의 감쇠 원리를 수립하여, 이동 평면 방법을 통해 분수형 방정식의 해의 중심대칭성과 단조성 증명을 가능하게 한다. 또한 $ \alpha \to 2 $ 일 때 이 연산자가 헤시안과 기울기 제곱항을 포함하는 두 번째 순서 타원형 연산자로 수렴함을 보여준다.

ABSTRACT

In this paper, we consider equations involving fully nonlinear nonlocal operators $$F_α(u(x)) \equiv C_{n,α} PV \int_{\mathbb{R}^n} \frac{G(u(x)-u(z))}{|x-z|^{n+α}} dz= f(x,u).$$ We prove a maximum principle and obtain key ingredients for carrying on the method of moving planes, such as narrow region principle and decay at infinity. Then we establish radial symmetry and monotonicity for positive solutions to Dirichlet problems associated to such fully nonlinear fractional order equations in a unit ball and in the whole space, as well as non-existence of solutions on a half space. We believe that the methods develop here can be applied to a variety of problems involving fully nonlinear nonlocal operators. We also investigate the limit of this operator as $α ightarrow 2$ and show that $$F_α(u(x)) ightarrow a(-Δu(x)) + b |\bigtriangledown u(x)|^2 .$$

연구 동기 및 목표

• 완전 비선형 비국소 연산자 $ F_\alpha $ 를 위한 직접적 분석 도구를 개발함. 이는 알려진 확장 방법이나 적분 방정식 형태의 등가가 없는 경우를 대비함.
• 반대칭 함수에 대한 최대원리를 수립하고, 이동 평면 방법의 핵심 요소인 좁은 영역 원리와 무한대에서의 감쇠 원리를 확립함.
• 단위 구 내 및 $ \mathbb{R}^n $ 에서의 양수 해의 중심대칭성과 단조성을 증명하고, 반공간에서의 해가 존재하지 않음을 보임.
• $ \alpha \to 2 $ 일 때 $ F_\alpha(u) $ 의 점근적 행동을 조사하여, 이가 국소적 두 번째 순서 PDE로 수렴함을 보임.

제안 방법

• G에 대한 조건(예: $ G(0) = 0 $, $ G \in C^1 $, $ G'(t) \geq c_0 > 0 $) 하에 단순 최대원리 증명.
• 반대칭 함수 $ w_\lambda $ 에 대해 무한대에서의 감쇠 원리 수립. 이는 $ c(x) = o(|x|^{-\alpha}) $ 이면 음의 최솟값의 크기가 유계임을 보임.
• 좁은 영역 원리를 적용하여, 충분히 음수인 $ \lambda $ 에 대해 $ \Sigma_\lambda $ 내에서 $ w_\lambda(x) \geq 0 $ 임을 보임으로써 이동 평면 방법의 시작 단계 확립.
• 전 공간과 단위 구에서 이동 평면 방법을 적용하여 양수 해의 중심대칭성과 단조성을 증명함.
• $ \alpha \to 2 $ 일 때 $ F_\alpha(u(x)) $ 의 극한을 $ G $ 의 테일러 전개와 특이 적분의 점근적 분석을 통해 분석함.
• $ C_{n,\alpha} = c_n(2 - \alpha) $ 이라는 사실을 이용해 적분의 주요 항을 추출하여, $ a(-\Delta u) + b|\nabla u|^2 $ 로 수렴함을 보임.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 확장 방법이나 적분 방정식 형태의 등가가 없는 경우, 완전 비선형 비국소 연산자 $ F_\alpha $ 에 대해 최대원리를 수립할 수 있는가?
• RQ2 이동 평면 방법 중 좁은 영역에서 $ w_\lambda(x) = u(x^\lambda) - u(x) $ 가 비음수로 유지되기 위한 조건은 무엇인가?
• RQ3 선형화된 방정식에서 계수 $ c(x) $ 의 감쇠 행동이 $ w_\lambda $ 의 최솟값 위치에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 $ \alpha \to 2 $ 일 때 $ F_\alpha(u(x)) $ 의 점근적 극한은 무엇이며, 어떤 종류의 국소적 PDE로 수렴하는가?
• RQ5 이동 평면 방법이 $ \mathbb{R}^n $, 단위 구, 반공간에서의 해에 대해 중심대칭성과 단조성 결과를 성공적으로 도출할 수 있는가?

주요 결과

• 반대칭 함수에 대한 최대원리가 수립되어, 충분히 음수인 $ \lambda $ 에 대해 $ \Sigma_\lambda $ 내에서 $ w_\lambda(x) \geq 0 $ 임을 보장함으로써 이동 평면 방법의 적용이 가능해짐.
• 좁은 영역 원리와 무한대에서의 감쇠 원리가 증명되어, $ c(x) = o(|x|^{-\alpha}) $ 이면 $ w_\lambda $ 의 음의 최솟값이 유계 영역에 국한됨을 보임.
• 단위 구 내의 딜리클레 문제의 양수 해는 중심대칭적이며 반지름 방향으로 엄격히 증가함을 보임.
• $ \mathbb{R}^n $ 내의 해는 적절한 감쇠 및 부호 조건 하에 중심대칭적이며 반지름 변수에 대해 단조 증가함.
• 반공간 $ \mathbb{R}^n_+ $ 에서의 양수 해가 존재하지 않음을 증명함. 이는 $ u > 0 $ 이며 $ \partial \mathbb{R}^n_+ $ 에서 $ u \geq 0 $ 이라는 조건 하에 성립함.
• $ \alpha \to 2 $ 일 때, 연산자 $ F_\alpha(u(x)) $ 는 점근적으로 $ a(-\Delta u(x)) + b|\nabla u(x)|^2 $ 로 수렴함. 여기서 $ a \propto G'(0) $, $ b \propto G''(0) $.