[논문 리뷰] Maximum-rate, Minimum-Decoding-Complexity STBCs from Clifford Algebras

Sanjay Karmakar, B. Sundar Rajan|ArXiv.org|2007. 12. 14.

Advanced Wireless Communication Techniques참고 문헌 31인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 클리포드 대수의 유니터리 행렬 표현에서 유도된 클리포드 유니터리 웨이트 단일기호 복원가능(Single-Symbol Decodable, SSD) 공간시간 블록 코드(CUW-SSD STBCs)를 제안하며, 최대 전송 속도와 최소 복원 복잡도를 달성한다. 논문은 $2^a$ 안테나에 대해 유니터리 웨이트 SSD 코드의 속도에 대한 상한을 $\frac{a}{2^{a-1}}$로 설정하며, 기존의 정규 직교 설계보다 높은 속도를 제공한다. 또한 CUW-SSD 코드가 이 상한을 충족함과 동시에 완전한 다변화를 보장하고 명시적인 코딩 이득 표현을 제공함을 보여준다.

ABSTRACT

It is well known that Space-Time Block Codes (STBCs) from orthogonal designs (ODs) are single-symbol decodable/symbol-by-symbol decodable (SSD) and are obtainable from unitary matrix representations of Clifford algebras. However, SSD codes are obtainable from designs that are not orthogonal also. Recently, two such classes of SSD codes have been studied: (i) Coordinate Interleaved Orthogonal Designs (CIODs) and (ii) Minimum-Decoding-Complexity (MDC) STBCs from Quasi-ODs (QODs). Codes from ODs, CIODs and MDC-QODs are mutually non-intersecting classes of codes. The class of CIODs have {\it non-unitary weight matrices} when written as a Linear Dispersion Code (LDC) proposed by Hassibi and Hochwald, whereas several known SSD codes including CODs have {\it unitary weight matrices}. In this paper, we obtain SSD codes with unitary weight matrices (that are not CODs) called Clifford Unitary Weight SSDs (CUW-SSDs) from matrix representations of Clifford algebras. A main result of this paper is the derivation of an achievable upper bound on the rate of any unitary weight SSD code as $\frac{a}{2^{a-1}}$ for $2^a$ antennas which is larger than that of the CODs which is $\frac{a+1}{2^a}$. It is shown that several known classes of SSD codes are CUW-SSD codes and CUW-SSD codes meet this upper bound. Also, for the codes of this paper conditions on the signal sets which ensure full-diversity and expressions for the coding gain are presented. A large class of SSD codes with non-unitary weight matrices are obtained which include CIODs as a proper subclass.

연구 동기 및 목표

• 직교 설계(ODs)가 아닌 유니터리 웨이트 행렬을 갖는 단일기호 복원가능(SSD) STBCs를 개발하여 최대 속도와 최소 복원 복잡도를 달성한다.
• $2^a$ 송신 안테나에 대해 임의의 유니터리 웨이트 SSD 코드의 도달 가능한 속도에 대한 상한을 유도하여 기존의 정규 직교 설계의 속도를 초월한다.
• 기약 유니터리 표현을 활용하여 클리포드 대수를 기반으로 한 새로운 STBC 클래스—클리포드 유니터리 웨이트 SSD(CUW-SSD) 코드—를 구성하며, 완전한 다변화를 보장하고 명시적인 코딩 이득 표현을 제공한다.
• 기존의 SSD 코드 클래스(예: CODs, CIODs, MDC-QODs)를 통합 및 일반화하여 이들이 CUW-SSD 코드의 특수한 경우임을 보이고, CUW-SSD 코드가 유도된 속도 상한을 달성함을 보여준다.

제안 방법

• 클리포드 대수 $CA_{2a+1}$의 유니터리 행렬 표현을 사용하여 SSD 코드를 구성하며, 기약 표현을 활용하여 유니터리 성질을 갖는 웨이트 행렬을 생성한다.
• 웨이트 행렬 $A_{iI}$ 및 $A_{iQ}$의 일반형을 유도하며, $A_{iI} = V^H M_i V$, $A_{iQ} = V^H N_i V$로 표현한다. 여기서 $M_i$, $N_i$는 반대칭 관계를 만족하는 반에르미트 행렬이다.
• SSD 성질을 확보하기 위해 조건 $A_{iI}^H A_{iQ} + A_{iQ}^H A_{iI} = 0$을 도입하며, 이는 $i \neq j$일 때 $M_i N_j = -N_j M_i$로 해석된다.
• 클리포드 대수의 구조를 활용하여 생성자 $A_{2a+2} = \pm j \prod_{i=2}^{2a+1} A'_{iQ}$를 정의함으로써 표현이 충실하고 기약임을 보장한다.
• 슈어의 보조정리와 유니터리 동치를 적용하여 유도된 코드 구조가 SSD 조건을 만족하고, 비특이성(예: $A_{iQ} = c A_{iI}$)을 피하는 것을 증명한다.
• SSD 제약 조건 하에서 유니터리 웨이트 행렬 내 독립적인 복소수 변수의 최대 수를 분석하여, $2^a$ 안테나에 대해 속도 상한을 $\frac{a}{2^{a-1}}$로 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떤 $2^a$ 송신 안테나를 갖는 유니터리 웨이트 단일기호 복원가능(SSD) STBC의 최대 도달 가능한 속도는 무엇인가?
• RQ2 직교 설계(ODs)가 아닌 유니터리 웨이트 행렬을 갖는 SSD 코드를 구성할 수 있으며, 이는 기존의 ODs보다 높은 속도를 달성할 수 있는가?
• RQ3 클리포드 대수의 구조를 어떻게 활용하여 최소 복원 복잡도와 완전한 다변화를 갖는 새로운 STBC 클래스를 생성할 수 있는가?
• RQ4 기존의 SSD 코드 클래스인 CIODs, MDC-QODs, CODs 등은 클리포드 대수에서 유도된 더 넓은 코드 클래스의 특수한 경우인가?
• RQ5 어떤 신호 집합 조건이 완전한 다변화를 보장하며, 제안된 코드의 코딩 이득은 어떻게 명시적으로 계산할 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 $2^a$ 안테나에 대해 임의의 유니터리 웨이트 SSD 코드의 속도에 대한 상한을 $\frac{a}{2^{a-1}}$로 설정하며, 이는 기존의 정규 직교 설계의 속도($\frac{a+1}{2^a}$)보다 엄격히 높다.
• 제안된 클리포드 유니터리 웨이트 SSD(CUW-SSD) 코드는 이 상한을 달성함으로써 상한이 날카롭고 달성 가능하다는 것을 보여준다.
• 기존의 여러 SSD 코드 클래스—예를 들어 직교 설계(CODs), 좌표 인터리빙 직교 설계(CIODs), 준직교 설계(QODs)에서 유도된 최소 복원 복잡도(MDC) 코드—가 CUW-SSD 코드의 특수한 경우임을 입증한다.
• 기약 표현과 유니터리 동치를 활용하여 제안된 구성이 비특이성(예: $A_{iQ} = c A_{iI}$)을 피함을 증명함으로써 완전한 다변화와 정확한 복원을 보장한다.
• 명시적인 코딩 이득 표현을 유도하였으며, 제안된 코드의 완전한 다변화를 보장하기 위한 신호 집합 조건도 제공한다.
• 유니터리 경우를 초월하여 비유니터리 웨이트 행렬을 갖는 광범위한 SSD 코드 클래스를 도출할 수 있으며, 이 경우 CIODs는 적절한 부분집합이 된다.