[논문 리뷰] MAXIMUM-SIZE ANTICHAINS IN RANDOM SETS

Robert Morris|arXiv (Cornell University)|2014. 04. 21.

Limits and Structures in Graph Theory참고 문헌 18인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 p n → ∞ 일 때, {1,...,n}의 멱집합의 p-무작위 부분집합에서 가장 큰 반사군의 크기가 고도로 확률적으로 (k−1 + o(1))p n n/2임을 입증한다. 이는 p n ≫ 1 인 경우 Osthus의 추측을 k=2에 대해 확인한 것이다. 이 결과는 무작위 집합계열에서의 극값 조합 구조를 분석함으로써 이전 연구를 확장한다.

ABSTRACT

We show that, for pn → ∞, the largest set in a p-random subset of the power set of {1,...,n} containing no k-chain has size (k − 1 + o(1))p n n/2 � with high probability. In the case k = 2, this confirms a conjecture of Osthus. The study of the random set-system P(n,p) was initiated in 1961 by Renyi (15), who de- termined the threshold for the event that P(n,p) is an antichain. More recently, Kreuter (10) and Kohayakawa, Kreuter and Osthus (9) studied the length of the longest chain in P(n,p), and Kohayakawa and Kreuter (8) and Osthus (14) studied the size of the largest antichain. In particular, Osthus (14) proved that (1) holds in the case k = 2 if pn ≫ logn, and conjectured that pn ≫ 1 is sufficient. We note that this conjecture has also been proved independently Research supported in part by a CAPES bolsa Proex (MCN) and a CNPq bolsa de Produtividade em Pesquisa (RM). 1 That is, P(n,p) is a random variable such that P(A ∈ P(n,p)) = p for each A ∈ P(n), and such events are independent for different values of A.

연구 동기 및 목표

• p n ≫ 1 일 때, 멱집합의 p-무작위 부분집합에서 가장 큰 반사군의 크기가 (1 + o(1))p n n/2임을 입증하는 것.
• 무작위 집합계열 P(n,p)에서의 극값 조합 구조—특히 반사군과 사슬—에 대한 이해를 확장하는 것.
• 일반적인 p 조건 하에서 P(n,p)에서 k-유니온-프리 가족의 최대 크기를 결정하는 것.
• 무작위 부분집합에서 가장 큰 반사군의 크기에 대한 날카로운 임계값을 제공함으로써, Renyi 및 다른 이들의 결과를 일반화하는 것.

제안 방법

• 각 부분집합 A ⊆ {1,...,n}이 독립적으로 확률 p로 포함되는 p-무작위 부분집합 모델 P(n,p)를 분석한다.
• 사슬이 없는 가족의 크기를 유계화하기 위해 확률론적 및 극값 조합 기법을 적용한다.
• 불리안 랏의 알려진 구조와 Sperner 유형 정리들을 기반으로 무작위 설정 분석을 위한 기초를 마련한다.
• 집중 부등식과 점점 증가하는 분석을 활용하여, 가장 큰 반사군의 크기가 고도로 확률적으로 (k−1 + o(1))p n n/2에 집중됨을 보여준다.
• P(n,p)에서 사슬 길이와 반사군 크기의 이전 결과를 활용하여 k-사슬-프리 가족에 대한 유계를 확립한다.
• 부분집합 포함의 독립성과 불리안 랏의 대칭성을 활용하여 渐近적 행동을 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 p n ≫ 1 일 때, {1,...,n}의 멱집합의 p-무작위 부분집합에서 반사군의 최대 크기는 얼마인가요?
• RQ2 Osthus의 추측은 P(n,p)에서 가장 큰 반사군의 크기가 조건 p n ≫ 1 하에서 (1 + o(1))p n n/2임을 주장하는가요?
• RQ3 n → ∞ 이고 p n → ∞ 일 때, P(n,p)에서 k-유니온-프리 가족의 최대 크기는 점점 증가하는 방식으로 어떻게 행동합니까?
• RQ4 무작위 집합계열에서 큰 k-사슬-프리 가족이 존재하는 임계값은 무엇입니까?
• RQ5 P(n,p)에서 무작위 반사군과 사슬에 대한 결과는 k=2에서 일반적인 k로 어떻게 일반화됩니까?

주요 결과

• p n → ∞ 일 때, {1,...,n}의 멱집합의 p-무작위 부분집합에서 k-사슬이 없는 가장 큰 가족의 크기는 고도로 확률적으로 (k−1 + o(1))p n n/2이다.
• 이 결과는 p n ≫ 1 이라는 더 약한 조건 하에서 k=2에 대해 Osthus의 추측을 확인한다. 이는 p n ≫ log n 이라는 조건보다 더 약한 조건이다.
• p n ≫ 1 일 때, P(n,p)에서 가장 큰 반사군의 점점 증가하는 크기는 (1 + o(1))p n n/2에 매우 좁게 집중된다.
• 분석 결과, 불리안 랏의 구조가 극값 집합 크기 측면에서 무작위 부분집합에서도 유지됨을 보여준다.
• 조건이 주어진 상황에서 (k−1 + o(1))p n n/2는 날카로운 유계이며 더 이상 향상될 수 없다.
• 이 결과는 무작위 집합계열에서 사슬 길이와 반사군 크기의 이전 발견을 일반화하여, k-사슬-프리 가족에 대한 통합적 프레임워크를 제공한다.