[논문 리뷰] McKay Correspondence for semisimple Hopf actions on regular graded algebras, II

Kenneth Chan, Ellen Kirkman외 2명|arXiv (Cornell University)|2016. 10. 04.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 32인용 수 14

한 줄 요약

이 논문은 아르틴-슐레터 정칙 대수에서 반단순 호프 대수 작용에 대해 메이크비의 대응을 확장하여 고정 부분환 $A^H$의 모듈러 카테고리, 스매시 곱 $A\#H$, 그리고 내림형 사상환 $\operatorname{End}_{A^H}(A)$의 모듈러 카테고리 사이의 카테고리 동치를 수립한다. 그레고리 쿼버와 메이크비 쿼버 사이의 동형을 증명하고, 최대 코hen-맥컬레이 모듈러의 내림형 사상환의 전반적 차원과 표현 차원에 대한 루슈케의 결과를 비가환적으로 일반화한다.

ABSTRACT

We continue our study of the McKay Correspondence for grading preserving actions of semisimple Hopf algebras H on (noncommutative) Artin-Schelter regular algebras A. Here, we establish correspondences between module categories over A^H, over A\#H, and over \End_{A^H} A. We also study homological properties of (endomorphism rings of) maximal Cohen-Macaulay modules over A^H.

연구 동기 및 목표

• 반단소 호프 대수 작용을 통한 아르틴-슐레터 정칙 대수에서 고전적 메이크비 대응을 비가환 설정으로 일반화한다.
• 고정 부분환 $A^H$, 스매시 곱 $A\#H$, 그리고 내림형 사상환 $\operatorname{End}_{A^H}(A)$의 모듈러 카테고리 사이의 카테고리 동치를, 추측된 동형 $A\#H \cong \operatorname{End}_{A^H}(A)$를 전제로 수립한다.
• 호프 대수 $H$의 작용에 대한 $A$의 그레고리 쿼버와 메이크비 쿼버가 방향 그래프로서 동형임을 증명한다.
• 고정 부분환 $A^H$의 유한 코hen-맥컬레이 유형에 대해 허츠로그와 루슈케의 전반적 차원과 표현 차원에 관한 결과를 비가환 설정으로 확장한다.
• 특히 고정 부분환 $A^H$에서 최대 코hen-맥컬레이 모듈러의 호몰로지적 성질, 특히 그 내림형 사상환의 성질을 조사한다.

제안 방법

• 추측된 분할 대수 동형 $A\#H \cong \operatorname{End}_{A^H}(A)$를 활용하며, 이는 차원 2 및 특정 기타 경우에서 알려져 있다.
• 최대 코hen-맥컬레이 모듈러 이론과 그 내림형 사상환을 적용하여 $A^H$, $A\#H$, $\operatorname{End}_{A^H}(A)$ 위의 기약 모듈러 사이의 대응을 구성한다.
• 호프 모듈러 카테고리의 그레고리 쿼버와 $H$-작용의 메이크비 쿼버를 사용하여 그래프 동형을 수립한다.
• 균형 잡힌 이중화 복합체와 과르진스터 성질을 포함한 비가환 호몰로지 대수 이론을 적용하여 내림형 사상환의 전반적 차원과 깊이를 분석한다.
• 표현 차원의 개념을 사용하고 일반화된 AS 정칙 대수 이론의 정리들을 적용하여 최대 코hen-맥컬레이 모듈러의 내림형 사상환의 전반적 차원을 유계화한다.
• 논문 [17] 및 [26]의 결과를 적용하여, $\operatorname{cd}(B) = 2$일 때 최대 코hen-맥컬레이 모듈러의 내림형 사상환이 일반화된 AS 정칙 대수이자 PI임을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 반단소 호프 작용에 대해 아르틴-슐레터 정칙 대수에서 동형 $A\#H \cong \operatorname{End}_{A^H}(A)$가 성립하는 조건은 무엇인가?
• RQ2 아르틴-슐레터 정칙 대수에서 $H$-작용의 그레고리 쿼버와 메이크비 쿼버는 방향 그래프로서 동형인가?
• RQ3 고정 부분환 $A^H$ 위의 최대 코hen-맥컬레이 모듈러의 내림형 사상환의 전반적 차원은 얼마인가?
• RQ4 코헨-맥컬레이 링의 표현 차원에 대한 루슈케의 결과는 $A^H$의 비가환 설정으로 확장 가능한가?
• RQ5 고정 부분환 $A^H$ 위의 최대 코hen-맥컬레이 모듈러의 합의 내림형 사상환이 $\operatorname{cd}(A^H) = 2$일 때 일반화된 AS 정칙 대수이자 PI인가?

주요 결과

• 추측된 동형 $A\#H \cong \operatorname{End}_{A^H}(A)$를 전제로 하여, $A$가 왼쪽 $A^H$-모듈러로서의 기약 직접 합성분의 동형류, $\operatorname{End}_{A^H}(A)$ 위의 유한 생성 프로젝티브 초기 모듈러, $A\#H$ 위의 기약 $H$-모듈러 사이의 이분법적 대응을 수립한다.
• 호프 작용에 대한 $A$의 그레고리 쿼버와 메이크비 쿼버는 방향 그래프로서 동형이며, 이는 고전 결과의 비가환 일반화를 확인한다.
• 노에테리안이고 공통적으로 분할된 코hen-맥컬레이 대수 $B$가 유한한 코hen-맥컬레이 유형을 가지며 $\operatorname{cd}(B) = 2$인 경우, 모든 기약 MCM 오른쪽 $B$-모듈러의 유한 직접 합 $M$에 대해 내림형 사상환 $E = \operatorname{End}_{B}(M)$은 차원 2의 노에테리안 PI 일반화된 AS 정칙 대수이다.
• $\operatorname{cd}(B) = 2$일 때 내림형 사상환 $E$는 전반적 차원 2를 가지며 과르진스터이며, 균형 잡힌 이중화 복합체를 지닌다. 이는 일반화된 AS 정칙성을 확인한다.
• $\operatorname{cd}(B) = 2$이고 $B$가 유한한 코hen-맥컬레이 유형을 가질 때, $B = A^H$의 중심은 반단순 성질에 의해 추론되어 근본적으로 감소한다.
• 전반적 차원이 3이지만 깊이가 2인 반례를 통해 $\operatorname{cd}(B) \geq 3$일 경우 결과가 성립하지 않음을 보였다. 따라서 이 경우 내림형 사상환은 코hen-맥컬레이나 AS 정칙이 아니다.