[논문 리뷰] Mean Li-Yorke chaos in Banach spaces

Nilson C. Bernardes, A. Bonilla외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 04. 11.

Advanced Banach Space Theory참고 문헌 29인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 바나흐 공간에서의 평균 리요르크 혼돈이 절대 평균 비정상 벡터의 존재에 의해 특징지어지며, 이는 DC2 유형의 분포 혼돈과 구별됨을 밝힌다. 절대 체사로 유계인 연산자는 평균 리요르크 혼돈이 될 수 없음을 증명하고, 조밀하고 일반적인 평균 리요르크 혼돈을 위한 기준을 제시하며, 초입자적이고 역행 가능한 연산자에 대한 완전한 평균 비정상 역학의 예도 포함한다.

ABSTRACT

We investigate the notion of mean Li-Yorke chaos for operators on Banach spaces. We show that it differs from the notion of distributional chaos of type 2, contrary to what happens in the context of topological dynamics on compact metric spaces. We prove that an operator is mean Li-Yorke chaotic if and only if it has an absolutely mean irregular vector. As a consequence, absolutely Cesàro bounded operators are never mean Li-Yorke chaotic. Dense mean Li-Yorke chaos is shown to be equivalent to the existence of a dense (or residual) set of absolutely mean irregular vectors. As a consequence, every mean Li-Yorke chaotic operator is densely mean Li-Yorke chaotic on some infinite-dimensional closed invariant subspace. A (Dense) Mean Li-Yorke Chaos Criterion and a sufficient condition for the existence of a dense absolutely mean irregular manifold are also obtained. Moreover, we construct an example of an invertible hypercyclic operator $T$ such that every nonzero vector is absolutely mean irregular for both $T$ and $T^{-1}$. Several other examples are also presented. Finally, mean Li-Yorke chaos is also investigated for $C_0$-semigroups of operators on Banach spaces.

연구 동기 및 목표

• 바나흐 공간 연산자에서의 평균 리요르크 혼돈과 분포 혼돈 간의 관계를 명확히 하며, 특히 DC2와의 차이를 부각함.
• 절대 평균 비정상 벡터의 존재를 통해 평균 리요르크 혼돈을 특성화함.
• 평균 리요르크 혼돈이 조밀하거나 일반적인 성격을 띠는 조건을 설정하며, 이러한 벡터의 조밀한 집합을 위한 기준을 포함함.
• 이산 연산자에서의 결과를 확장하여 $C_0$-세미군의 평균 리요르크 혼돈에 대한 행동을 조사함.
• 초입자적 또는 혼합적이지만 평균 리요르크 혼돈이 아니거나 그 반대인 연산자 및 세미군의 예를 구성함.

제안 방법

• 절대 평균 비정상 벡터의 개념을 도입: 벡터 $x$가 $\liminf_{N\to\infty} \frac{1}{N}\sum_{j=1}^N \|T^j x\| = 0$ 이고 $\limsup_{N\to\infty} \frac{1}{N}\sum_{j=1}^N \|T^j x\| = \infty$ 를 만족할 때.
• 연산자가 평균 리요르크 혼돈이 되기 위한 필요충분조건이 적어도 하나의 절대 평균 비정상 벡터를 가진다는 것을 증명함.
• 평균 리요르크 혼돈 기준을 적용하여 이러한 벡터의 조밀한 집합을 가진 연산자를 식별함.
• 베어 카테고리 정리를 적용하여, 조밀한 평균 리요르크 혼돈이 절대 평균 비정상 벡터의 조밀한(또는 잔여) 집합의 존재와 동치임을 보임.
• 일방향 가중 이동 역행 이동자에 대해 이분법을 구성: 모든 궤도의 체사로 평균이 0이거나, 조밀한 절대 평균 비정상 다각형이 존재함.
• 유용한 가중치를 가진 $L^p$ 공간에서의 쌍대성과 가중 이동 연산자를 사용하여 결과를 $C_0$-세미군에 적용함.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 평균 리요르크 혼돈은 바나흐 공간에서 DC2와 동치인가? (이는 컴팩트 거리 공간에서는 그렇지만.)
• RQ2 절대 체사로 유계인 연산자가 평균 리요르크 혼돈을 띌 수 있는가?
• RQ3 평균 리요르크 혼돈 연산자가 절대 평균 비정상 벡터의 조밀한 집합을 가질 수 있는 조건은 무엇인가?
• RQ4 $C_0$-세미군이 분포 혼돈이 아니더라도 평균 리요르크 혼돈이 될 수 있는가?
• RQ5 모든 $T$와 $T^{-1}$이 완전히 절대 평균 비정상인 초입자적 연산자가 존재하는가?

주요 결과

• 평균 리요르크 혼돈은 바나흐 공간에서는 DC2와 동치가 아니며, 컴팩트 거리 공간과는 다름.
• 연산자가 평균 리요르크 혼돈이 되기 위한 필요충분조건은 적어도 하나의 절대 평균 비정상 벡터를 가진다는 것.
• 절대 체사로 유계인 연산자는 절대 평균 리요르크 혼돈이 될 수 없으며, 이는 이러한 연산자가 무한대의 체사로 평균을 가진 벡터를 가질 수 없기 때문이다.
• 조밀한 평균 리요르크 혼돈은 절대 평균 비정상 벡터의 조밀한(또는 잔여) 집합의 존재와 동치이다.
• 모든 평균 리요르크 혼돈 연산자는 어떤 무한차원 닫힌 불변 부분공간에서 조밀한 평균 리요르크 혼돈을 띤다.
• 분포 혼돈이지만 평균 리요르크 혼돈이 아닌 $L^p(1,\infty)$에서의 혼합적이며 절대 체사로 유계인 $C_0$-세미군이 존재하며, 평균 리요르크 혼돈이지만 분포 혼돈이 아닌 $C_0$-세미군도 존재한다.