[논문 리뷰] Measurable regularity properties of infinite-dimensional Lie groups

Helge Glöckner|arXiv (Cornell University)|2015. 12. 23.

Stability and Controllability of Differential Equations인용 수 15

한 줄 요약

이 논문은 무한차원 리군에 대한 측정 가능한 정규성 성질을 수립하며, p ∈ [1, ∞]에 대해 Lp([0,1], g)로 확장된 진화사상 Evol을 통해 바나흐- 및 프레셰-리군에 대한 Lp-정규성을 도입한다. Evol: Lp([0,1], g) → ACLp([0,1], G)₀가 매끄럽다는 것을 증명하며, 고전적인 Ck-정규성의 개념을 측정 가능하고 Lp-적분 가능한 곡선으로 일반화하고, 미분형상군과 게이지군과 같은 핵심 군들에 적용하여 트로터 공식과 교환자 공식의 타당성을 보장한다.

ABSTRACT

We consider differential equations of the form y'(t)=f(t,y(t)) on a (possibly infinite-dimensional) Lie group G, for f : [0,1] x G -> TG a time-dependent left invariant vector field with measurable (but not necessarily continuous) dependence on t. If a solution Evol(c):=y on [0,1] starting at the neutral element e of G exists for each f corresponding to an L^1-curve c : [0,1] -> g in the Lie algebra g of G, and Evol is smooth as a map from L^1([0,1],g) to C([0,1],G), then G is called L^1-regular. We show that all Banach-Lie groups are L^1-regular, as well as all direct limits of finite-dimensional Lie groups and many further classical examples of infinite-dimensional Lie groups, like diffeomorphism groups of paracompact finite-dimensional smooth manifolds. If a Lie group G is L^1-regular, then the Trotter product formula and the commutator formula hold in G, in a strong sense. The same conclusion holds if G merely satisfies certain weaker measurable regularity properties (like L^p-regularity), which are discussed as well. As a tool, we study differentiability properties of certain non-linear mappings to vector-valued Lebesgue spaces and spaces of vector-valued absolutely continuous functions.

연구 동기 및 목표

• 무한차원 리군에서 Ck-매끄러운 곡선을 초월하여 측정 가능하고 Lp-적분 가능한 곡선으로 정규성 개념을 확장하는 것.
• 바나흐- 및 프레셰-리군에 대해 Evol: Lp([0,1], g) → ACLp([0,1], G)₀의 존재성과 매끄러움을 확립하는 것.
• Lp-정규성이 C0-정규성과 트로터 및 교환자 공식의 타당성을 암시함을 보이는 것.
• 미분형상군과 바나흐 구조군을 가진 주요 다발의 게이지군과 같은 중요한 리군 클래스에 이 틀을 적용하는 것.
• Lp-정규성, L∞rc-정규성, 조절 정규성의 도입을 통해 정규성 개념을 통합하고 일반화하며, 이들의 포함 관계 계층을 보여주는 것.

제안 방법

• ACLp([0,1], g)를 미분이 Lp([0,1], g)에 속하는 절대연속 곡선의 공간으로 정의하고, 바나흐-리 대수를 이룬다.
• 연속 곡선 공간 내부의 적분 부분군 ACLp([0,1], G)₀ = ⟨expG ◦γ : γ ∈ ACLp([0,1], g)⟩를 구성한다.
• 측정 가능한 우변을 가진 카라테오도리의 미분방정식 이론을 사용하여 진화사상 Evol: Lp([0,1], g) → ACLp([0,1], G)₀가 잘 정의되고 매끄럽다는 것을 증명한다.
• 미분형상군의 접선공간을 컴acts지지 벡터장과 연결하여 Evol이 다양체 위의 흐름과 관련됨을 밝힌다.
• 프로젝티브 및 인덕티브 극한을 통해 프레셰-리군과 바나흐-리군에 이론을 적용하고, 국소 차트와 약한 적분 가능성을 통해 정규성을 검증한다.
• 진화사상이 리군의 구조를 유지하고 군 연산과 가환함을 보장하며, 제어 함수 γ에 대한 매끄러운 의존성을 확보한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 무한차원 리군에서 Ck([0,1], g)에서 Lp([0,1], g)로 진화사상 Evol을 p ∈ [1, ∞]에 대해 확장할 수 있는가?
• RQ2 바나흐- 및 프레셰-리군에서 Lp-정규성이 진화사상의 구조와 매끄러움에 미치는 영향는 무엇인가?
• RQ3 Lp-정규성, L∞rc-정규성, 조절 정규성 간의 계층적 관계는 어떻게 되며, 트로터 및 교환자 공식과 어떤 함의를 갖는가?
• RQ4 σ-콤팩트 유한차원 다양체 M의 미분형상군 Diffc(M)과 바나흐 구조군을 가진 주다발의 게이지군은 어느 정도 측정 가능한 정규성 성질을 만족하는가?
• RQ5 진화방정식에 대한 카라테오도리 해가 존재할 때, Lp 설정에서 Evol 사상의 매끄러움이 보장되는가?

주요 결과

• 모든 프레셰-리군 G와 p ∈ [1, ∞]에 대해, G가 Lp-정규성이라면 모든 q ≥ p에 대해 Lq-정규성도 만족하며, 정규성의 계층을 확립한다.
• L∞-정규성이 L∞rc-정규성을 함의하고, 이는 R-정규성(조절 정규성)을 함의하며, R-정규성이 C0-정규성을 함의한다.
• 모든 p ∈ [1, ∞]에 대해 진화사상 Evol: Lp([0,1], g) → ACLp([0,1], G)₀는 매끄럽다. 이는 고전적인 Ck-정규성을 측정 가능하고 적분 가능한 곡선으로 일반화한다.
• σ-콤팩트 유한차원 다양체 M의 미분형상군 Diffc(M)에 대해, Evol은 측정 가능한 벡터장 f(t, y) = γ(t)(y)의 전역 흐름 η(t) = Φf_{t,0}과 일치한다.
• 이 구성은 진화사상이 군 구조와 접선(bundle)의 동형사상 αφ: Tφ Diffc(M) → Γφ를 통해 호환됨을 보장한다.
• 결과적으로 트로터 곱공식과 교환자 공식이 Lp-정규 리군에서 타당함을 보이며, 제어이론과 표현이론에서 측정 가능한 제어에 대한 적용 가능성을 확장한다.