[논문 리뷰] Methods for Solving Extremal Problems in Practice

Michael Codish|arXiv (Cornell University)|2015. 08. 24.

Coding theory and cryptography참고 문헌 4인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 7입력 부울 함수 중 일부의 곱셈 복잡도가 최소 7임을 증명하여 M(7)의 하한을 한 단계 높였다. 회로 구조와 대칭성 감소 기반의 정교한 세기 방법을 사용하여, 모든 2^128가지의 7변수 부울 함수를 계산하는 데 6개의 AND 게이트만으로는 부족하다는 것을 보이며, GF(2)에서 최소 7회의 곱셈이 필요한 함수가 존재한다는 것을 입증한다.

ABSTRACT

During the 20 th century there has been an incredible progress in solving theoretically hard problems in practice. One of the most prominent examples is the DPLL algorithm and its derivatives to solve the Boolean satisfiability problem, which can handle instances with millions of variables and clauses in reasonable time, notwithstanding the theoretical difficulty of solving the problem. Despite this progress, there are classes of problems that contain especially hard instances, which have remained open for decades despite their relative small size. One such class is the class of extremal problems, which typically involve finding a combinatorial object under some constraints (e.g, the search for Ramsey numbers). In recent years, a number of specialized methods have emerged to tackle extremal problems. Most of these methods are applied to a specific problem, despite the fact there is a great deal in common between different problems. Following a meticulous examination of these methods, we would like to extend them to handle general extremal problems. Further more, we would like to offer ways to exploit the general structure of extremal problems in order to develop constraints and symmetry breaking techniques which will, hopefully, improve existing tools. The latter point is of immense importance in the context of extremal problems, which often hamper existing tools when there is a great deal of symmetry in the search space, or when not enough is known of the problem structure. For example, if a graph is a solution to a problem instance, in many cases any isomorphic graph will also be a solution. In such cases, existing methods can usually be applied only if the model excludes symmetries.

연구 동기 및 목표

• n-변수 부울 함수의 최대 곱셈 복잡도 M(n)에 대해 더 강한 하한을 확립하기 위해.
• 이전의 하한에도 불구하고 해결되지 않은 상태였던 M(7) > 6 여부를 해결하기 위해.
• 회로 위상 기반 방법을 사용하여 고정된 AND 게이트 수에 대해 계산 가능한 함수의 수를 체계적으로 세는 방법을 개발하기 위해.
• 대칭성 깨기와 위상 자르기 기법을 통해 동치 회로의 탐색 공간을 줄여 효율적인 열거를 가능하게 하기 위해.
• 7입력 부울 함수 중 곱셈 복잡도가 7인 함수가 존재한다는 비구성적 증명을 제공하기 위해. 향후 작업으로는 그러한 함수를 실제로 구성하고자 한다.

제안 방법

• AND 게이트 간의 상호연결만을 고려하고 XOR 게이트의 세부 사항은 무시하는 방식으로 회로를 위상으로 추상화한다.
• 중복과 동치성을 줄이기 위해 잘 층화된(well-layered) 및 최소(minimal) 위상의 개념을 도입한다.
• 비동치인 최소 잘 층화된 위상을 위한 k개의 AND 게이트에 대해 생성-자르기(generate-and-prune) 알고리즘을 적용한다.
• 정리 4를 적용하여 계산 가능한 부울 함수의 수를 3^k × 2^{2kn + n + k + 1} × |Tk/≡|로 상한을 정한다. 여기서 |Tk/≡|는 비동치 위상의 수이다.
• 고위상 원리를 적용한다: 7변수 부울 함수의 수(2^128)가 6개의 AND 게이트로 계산 가능한 함수의 상한을 초과하므로, 최소 하나의 함수는 7개의 게이트가 필요하다.
• 위상의 표준 표현을 보장하고 과도한 수를 줄이며 |Tk/≡|의 효율적 계산을 가능하게 하기 위해 대칭성 깨기 기법을 사용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 7입력 부울 함수의 곱셈 복잡도는 최소 7인가?
• RQ2 6개의 AND 게이트로 계산 가능한 부울 함수의 수를 충분히 정밀하게 상한을 정할 수 있는가? 이를 통해 모든 7변수 함수를 계산할 수 없다는 것을 증명할 수 있는가?
• RQ3 k개의 AND 게이트를 가진 회로에 대해 비동치의 최소 잘 층화된 위상의 수는 얼마이며, 이는 탐색 공간을 어떻게 줄이는가?
• RQ4 비구성적 증명을 통해 곱셈 복잡도가 7인 7입력 함수의 존재를 입증할 수 있는가?
• RQ5 M(6)의 값은 얼마이며, 정교한 계산 방법을 통해 이를 특정할 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 M(7) ≥ 7임을 증명하여 이전에 알려진 하한을 한 단계 높였다.
• 6개의 AND 게이트를 가진 회로에 대해 정확히 555,709개의 비동치 최소 잘 층화된 위상이 존재하며, 이는 Generate 알고리즘을 통해 계산되었다.
• 6개의 AND 게이트로 계산 가능한 7변수 부울 함수의 수에 대한 상한은 2^128 미만이며, 구체적으로 2^128 미만임을 입증하여, 모든 그러한 함수를 계산할 수 없음을 보였다.
• 이 상한은 555,709 × 3^6 × 2^98 < 2^128로 유도되었으며, 이는 6개의 AND 게이트로는 모든 7입력 함수를 계산할 수 없음을 보여준다.
• 결과는 비구성적이다: 곱셈 복잡도가 7인 7입력 함수의 존재는 증명되었지만, 이를 명시적으로 구성하지는 않았다.
• 이 방법은 M(n) > n−1이 성립하는 최소한의 사례로 n=7인 경우를 보여주며, 이는 이 부등식이 엄격하게 성립하는 최초의 알려진 사례이다.