[논문 리뷰] Mildly dissipative diffeomorphisms of the disk with zero entropy

Sylvain Crovisier, Enrique Pujals외 1명|arXiv (Cornell University)|2020. 05. 28.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 28인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 원판 위의 약간의 소산성 미분동형사상에서 위상적 엔트로피가 0인 경우, 일반화된 모르스-스멀 시스템이거나 무한히 재정규화 가능한 것으로 규명한다. 역동계 이론의 도구—특히 트랩핑 디스크, 피크톤 디스크, 재정규화 이론—을 사용하여, 이러한 시스템이 위상적 엔트로피가 0과 양수 사이의 경계에서 이중화 캐스케이드를 보임을 증명하며, 일차원 동역학에서의 샤키보프스키 정리의 두 차원 소산성 동역학으로의 일반화를 이룬다.

ABSTRACT

We discuss the dynamics of smooth diffeomorphisms of the disc with vanishing topological entropy which satisfy the mild dissipation property introduced in [CP]. In particular it contains the Hénon maps with Jacobian up to 1/4. We prove that these systems are either (generalized) Morse Smale or infinitely renormalizable. In particular we prove for this class of diffeomorphisms a conjecture of Tresser: any diffeomorphism in the interface between the sets of systems with zero and positive entropy admits doubling cascades. This generalizes for these surface dynamics a well known consequence of Sharkovskii's theorem for interval maps.

연구 동기 및 목표

• 약간의 소산성 조건 하에서 원판 위의 매끄러운 미분동형사상의 동역학을 규명하는 것.
• 위상적 엔트로피가 0과 양수 사이의 경계에서 발생하는 시스템이 이중화 캐스케이드를 보이는가를 해결하는 것.
• 특히 샤키보프스키 정리와 같은 일차원 동역학 결과를 두 차원 소산성 미분동형사상의 맥락으로 확장하는 것.
• 재정규화와 트랩핑 구조가 고차원에서 엔트로피가 0인 동역학을 분류하는 데서 수행하는 역할을 확립하는 것.
• 헤논 맵 가족이 이 클래스 내의 표준적인 예로 간주되며, 자코비안 ≤ 1/4일 때 엔트로피가 0임을 확인하는 것.

제안 방법

• 체계적인 소산성 조건인 γ-소산성 기준을 도입하여, 강한 하이퍼볼리시티 없이 체적 수축을 보장한다.
• 레프셰츠 공식과 고정점 기준을 적용하여, 불변 다각형과의 관계에서 순환 궤도와 그 안정성 분석을 수행한다.
• 안정/비안정 궤도의 호와 수직/수평 선분을 이용하여, 피크톤 디스크와 조르당 도메인을 기반으로 트랩핑 디스크를 구성한다.
• 기울기 보조정리를 사용하여 구성된 영역의 전방 불변성을 입증하고, 불변 집합과 재귀성을 식별할 수 있도록 한다.
• 국소적 및 전역적 재정규화 기법을 활용하여 순환점의 구조와 그 집적 행동을 분석한다.
• 브라우어의 평면 이동 정리를 적용하여, 불변 다각형이나 트랩핑 영역 외부에서의 재귀 행동을 배제한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 위상적 엔트로피가 0인 약간의 소산성 원판 미분동형사상에서 어떤 동역학적 구조가 나타나는가?
• RQ2 위상적 엔트로피가 0과 양수 사이의 경계에서 발생하는 시스템은 일차원 맵과 마찬가지로 주기 이중화 캐스케이드를 보이는가?
• RQ3 자코비안 ≤ 1/4인 헤논 맵의 동역학은 일반화된 모르스-스멀 또는 무한히 재정규화 가능한 것으로 분류될 수 있는가?
• RQ4 트랩핑 디스크와 피크톤 디스크 구성은 재귀성과 비잡행 집합을 규명하는 데 어떻게 기여하는가?
• RQ5 샤키보프스키의 순환점 계층은 어느 정도까지 두 차원 소산성 미분동형사상으로 확장될 수 있는가?

주요 결과

• 위상적 엔트로피가 0인 약간의 소산성 원판 미분동형사상은 일반화된 모르스-스멀 또는 무한히 재정규화 가능한 것으로 규명된다.
• 트레서의 추측이 확인됨: 엔트로피 경계에서 시스템은 이중화 캐스케이드를 보이며, 일차원 주기 이중화 전이를 일반화한다.
• 자코비안 ≤ 1/4인 헤논 맵은 이 클래스에 속하며, 일반화된 모르스-스멀 또는 무한히 재정규화 가능한 것으로 규명된다.
• 비그래픽 불변 또는 안정 분지가 있는 순환점 주변에 수직 및 수평 선분을 사용하여 불변 조르당 도메인을 형성함으로써 트랩핑 디스크를 구성할 수 있다.
• 사이클의 부재와 안정화된 순환점과 관련된 감소하는 점의 체인 구조는 안정화된 순환점의 유한 집합을 이끈다.
• 불변 다각형과 트랩핑 영역 외부의 동역학은 브라우어의 평면 영역 정리에 따라 무한히 향해 간다.