[논문 리뷰] Min-max theory for free boundary minimal hypersurfaces II -- General Morse index bounds and applications

Qiang Guang, Martin Man‐chun Li외 2명|arXiv (Cornell University)|2019. 07. 28.

Geometric Analysis and Curvature Flows참고 문헌 29인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 경계를 가진 컴acts Riemannian 다양체에서 Almgren-Pitts min-max 이론을 통해 구성된 자유 경계 최소 초곡면에 대한 일반적인 상한을 제시한다. 이는 3차원에서 7차원까지의 차원에 대해 적용된다. 이러한 인덱스 추정을 바탕으로, 저자는 임의의 $C^\infty$ Riemannian 계량에서, 모든 컴팩트하고 적절히 삽입된 자유 경계 최소 초곡면의 합집합이 다양체에 밀도를 이룬다는 것을 증명한다. 추가로 평균 볼록성 조건을 만족할 경우, 이러한 초곡면이 무한히 존재함을 보이며, 이는 자유 경계 설정에서 Yau의 추측에 대한 일반적인 해답을 제공한다.

ABSTRACT

For any smooth Riemannian metric on an $(n+1)$-dimensional compact manifold with boundary $(M,\partial M)$ where $3\leq (n+1)\leq 7$, we establish general upper bounds for the Morse index of free boundary minimal hypersurfaces produced by min-max theory in the Almgren-Pitts setting. We apply our Morse index estimates to prove that for almost every (in the $C^\infty$ Baire sense) Riemannan metric, the union of all compact, properly embedded free boundary minimal hypersurfaces is dense in $M$. If $\partial M$ is further assumed to have a strictly mean convex point, we show the existence of infinitely many compact, properly embedded free boundary minimal hypersurfaces whose boundaries are non-empty. Our results prove a conjecture of Yau for generic metrics in the free boundary setting.

연구 동기 및 목표

• 경계를 가진 컴팩트 다양체에서 Almgren-Pitts min-max 이론을 통해 생성된 자유 경계 최소 초곡면의 모스 지수에 대한 일반적인 상한을 확립하는 것.
• 이전에 Irie, Marques, 그리고 Neves에 의해 증명된 닫힌 최소 초곡면에 대한 일반적 밀도 결과를 자유 경계 설정으로 확장하는 것.
• 일반적인 계량에서 자유 경계 설정에서 Yau의 추측에 따라 무한히 많은 최소 초곡면이 존재함을 해결하는 것.
• 경계를 가진 다양체에 대한 $p$-width 이론에서 누락된 지수 제어를 제공하여 Song의 Yau 추측 증명에서 핵심적인 빈자리 완성하기

제안 방법

• min-max 자유 경계 최소 초곡면에 대한 일반적인 모스 지수 상한을 개발: 초곡면이 $k$차원 호모토피 클래스에서 유도되면, 그 모스 지수는 최대 $k$이다.
• 체적 스펙트럼에 대한 Weyl 법칙을 적용하여 $p$-폭의 성장을 제어하고 최소 초곡면의 존재와 연결한다.
• 로그형 컷오프 함수 기법을 사용하여 경계 조건을 유지하면서 계량과 초곡면을 변형하는 벡터장을 구성한다.
• Bumpy Metrics 정리와 White의 구조 정리를 활용하여, 작은 계량 변화에 대해 비퇴화성과 초곡면의 지속성을 보장한다.
• 부드럽게 수렴하는 메트릭의 수열 $g_i$를 $g'$로 구성하고, 미분동형사를 통해 거의 적절히 삽입된 FBMH를 적절히 삽입된 것으로 올린다.
• 문헌 [11]의 컴팩트니스 정리와 임의의 열린 집합과 교차하는 거의 적절히 삽입된 FBMH를 갖는 메트릭 수열의 존재를 이용하여 일반적인 경우의 밀도를 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 경계를 가진 다양체에서 Almgren-Pitts min-max 이론을 통해 생성된 자유 경계 최소 초곡면에 대해 일반적인 모스 지수 상한을 확립할 수 있는가?
• RQ2 경계를 가진 컴팩트 다양체에서 일반적인 $C^\infty$ Riemannian 계량에서, 모든 컴팩트하고 적절히 삽입된 자유 경계 최소 초곡면의 합집합이 다양체에 밀도를 이룬다 할 수 있는가?
• RQ3 경계에 엄격한 평균 볼록성 점이 존재할 경우, 이러한 초곡면이 무한히 존재하는가?
• RQ4 경계를 가진 다양체에 대한 $p$-width 이론에서 누락된 지수 제어를 메우면 Song의 Yau 추측 증명을 단순화할 수 있는가?
• RQ5 임의의 고정된 열린 집합과 교차하는 자유 경계 최소 초곡면을 갖는 메트릭의 집합은 $C^\infty$ 위상에서 열려 있고 밀도가 있는가?

주요 결과

• min-max 이론을 통해 $k$차원 호모토피 클래스에서 유도된 자유 경계 최소 초곡면의 모스 지수는 최대 $k$이며, 이는 닫힌 경우의 결과를 일반화한다.
• 경계를 가진 컴팩트 다양체에서 일반적인 $C^\infty$ Riemannian 계량에서, 모든 컴팩트하고 적절히 삽입된 자유 경계 최소 초곡면의 합집합은 다양체에 밀도를 이룬다.
• 경계에 엄격한 평균 볼록성 점이 존재할 경우, 경계가 비어 있지 않은 무한히 많은 컴팩트하고 적절히 삽입된 자유 경계 최소 초곡면이 존재한다.
• 일반적인 계량에서 $p$-폭 $\rho_p(M,g)$는 정수 변동량에 의해 달성되며, 이는 Song의 Yau 추측 증명에서 누락된 핵심 요소를 완성한다.
• 임의의 고정된 열린 집합과 교차하는 자유 경계 최소 초곡면을 갖는 메트릭의 집합은 $C^\infty$ 위상에서 열려 있고 밀도가 있다.
• 메트릭 수열 $g_i$가 $g'$로 수렴하고, 관련된 초곡면 $\Sigma_i$가 존재함을 보장하며, 충분히 큰 $i$에 대해 $g_i$는 주어진 이웃에 속하고 $\Sigma_i$는 주어진 열린 집합과 교차한다.