[논문 리뷰] Minimal bi-ideals in regular and completely regular ordered semigroups

Kalyan Hansda|arXiv (Cornell University)|2017. 01. 25.

Fuzzy and Soft Set Theory참고 문헌 5인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 이중 이상수의 최소성에 의해 정규 및 완전히 정규인 순서 있는 이四十군을 특성화한다. 이를 통해 완전히 정규인 순서 있는 이십군에서 모든 이중 이상수가 최소임을 증명하고, 정규인 순서 있는 이십군이 그 최소 이중 이상수들의 합집합임과 동시에 완전히 정규임을 보여준다. 또한 최소 이중 이상수는 최소 왼쪽 이상수와 최소 오른쪽 이상수의 곱이며, 이중 단순임을 보여주어 순서 있는 이십군에서 최소성과 정규성 사이의 구조적 연결 고리를 확립한다.

ABSTRACT

Here we characterize regular and completely regular ordered semigroups by their minimal bi-ideals. A minimal bi-ideal is expressed as a product of a minimal right ideal and a minimal left ideal. Furthermore, we show that every bi-ideal in a completely regular ordered semigroup is minimal and hence a regular ordered semigroup S is completely regular if and only if S is union its of minimal bi-ideals.

연구 동기 및 목표

• 이중 이상수의 최소성에 의해 정규 및 완전히 정규인 순서 있는 이십군을 특성화하는 것.
• 최소 이중 이상수와 순서 있는 이십군의 분해 사이의 구조적 연결 고리를 설정하는 것.
• 완전히 정규인 순서 있는 이십군에서 모든 이중 이상수가 최소이며, 순서 있는 등幂원으로 생성되는 주 이상수임을 보여주는 것.
• 정규인 순서 있는 이십군이 그 최소 이중 이상수들의 합집합임과 동시에 완전히 정규임을 보여주는 것.
• 순서 있는 이십군에서 최소성, 이중 단순성, t-단순성 사이의 관계를 명확히 하는 것.

제안 방법

• 순서 있는 이십군에서 이중 이상수의 정의를 사용한다: 부분이십군 B로서 BSB ⊆ B 이고 (B] = B를 만족한다.
• 정규인 순서 있는 이십군에서 B(a) = (R(a)L(a)] 및 B(a) = (aSa]라는 특성화를 적용한다.
• 그린의 관계(L, R, H, J)와 H-관계를 사용하여 최소성과 구조를 분석한다.
• 최소 이중 이상수가 이중 단순이며 t-단순임을 이용하고, 모든 이중 단순 순서 있는 이십군이 t-단순임을 이용한다.
• 완전히 정규인 순서 있는 이십군이 t-단순 부분이십군들의 합집합임을 보여주는 정리 2.4를 적용한다.
• 모든 이중 이상수가 주 이상수이자 최소임을 보이기 위해, B(a) = B(e)를 만족하는 순서 있는 등幂원 e ∈ E≤(S)의 존재를 이용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 정규 및 완전히 정규인 순서 있는 이십군은 어떻게 그 이중 이상수의 최소성에 의해 특성화될 수 있는가?
• RQ2 최소 이중 이상수, 최소 왼쪽/오른쪽 이상수, 이중 단순성 사이의 구조적 관계는 무엇인가?
• RQ3 어떤 조건에서 순서 있는 이십군의 모든 이중 이상수가 최소가 되는가?
• RQ4 정규인 순서 있는 이십군이 그 이중 이상수의 구조에 따라 언제 완전히 정규가 되는가?
• RQ5 순서 있는 등幂원은 완전히 정규인 순서 있는 이십군에서 이중 이상수의 생성과 최소성과 어떻게 관련되는가?

주요 결과

• 완전히 정규인 순서 있는 이십군에서 모든 이중 이상수는 최소이며, 모든 최소 이중 이상수는 이중 단순하다.
• 정규인 순서 있는 이십군 S는 S가 그 최소 이중 이상수들의 합집합임과 동시에 완전히 정규임과 동치이다.
• 순서 있는 이십군에서 최소 이중 이상수는 최소 왼쪽 이상수와 최소 오른쪽 이상수의 곱이다.
• 완전히 정규인 순서 있는 이십군에서 모든 이중 이상수는 주 이상수이며, 순서 있는 등幂원으로 생성된다.
• 이중 이상수 B가 최소임과 동시에 이중 단순임은 동치이며, 최소성과 이중 단순성 사이의 직접적인 동치관계를 설정한다.
• 이십군 S는 모든 a ∈ S에 대해 B(a) = B(a²)임과 동시에 동치이며, 이는 a ≤ a² 또는 a ∈ (a²Sa²] 또는 a ≤ a⁴를 의미한다.