[논문 리뷰] Minimal controllability time for systems with nonlinear drift under a compact convex state constraint

Viktor Bezborodov, Luca Di Persio외 1명|arXiv (Cornell University)|2020. 12. 23.

Stability and Control of Uncertain Systems참고 문헌 14인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 선형 제어와 유계 볼록 상태 제약 조건을 가진 비선형 제어 시스템의 최소 제어 가능 시간에 대한 명시적 표현과 하한을 제시한다. 제어 행렬의 치역의 직교 여부에 따라 시스템을 투영함으로써 문제를 저차원 시스템으로 축소시키며, 제어 치역의 여수차수가 1인 경우 정확한 계산이 가능하고, 비교 원리 및 미분 부등식을 통해 일반적인 하한을 도출한다.

ABSTRACT

In this paper we estimate the minimal controllability time for a class of non-linear control systems with a bounded convex state constraint. An explicit expression is given for the controllability time if the image of the control matrix is of co-dimension one. A lower bound for the controllability time is given in the general case. The technique is based on finding a lower dimension system with the similar controllability properties as the original system. The controls corresponding to the minimal time, or time close to the minimal one, are discussed and computed analytically. The effectiveness of the proposed approach is illustrated by a few examples.

연구 동기 및 목표

• 유계 볼록 상태 제약 조건을 가진 비선형 제어 시스템이 제약 조건 집합의 내부 점에서 다른 내부 점으로 이동하는 데 필요한 최소 시간을 추정하기 위해.
• 이전의 상태 제약 조건 하에서의 제어 가능성 연구를 비선형 드리프트와 고차원 상태 공간을 갖는 시스템으로 확장하기 위해.
• 저차원 보조 시스템을 이용해 최소 제어 가능 시간를 계산하거나 하한을 구하는 방법을 개발하기 위해.
• 원래 시스템의 제어 가능 시간가 정확히 결정되거나 날카로운 하한을 갖는 조건를 설정하기 위해.

제안 방법

• 원래의 n차원 시스템을 제어 행렬의 치역의 직교 여부에 투영하여 문제를 저차원 시스템으로 축소시킨다.
• 직교 분해를 이용해 상태 공간 내에서 '빠른'(제어 영향을 받는) 및 '느린'(제어되지 않는) 방향을 분리한다.
• 미분 부등식에 대한 비교 정리를 적용하여 주어진 거리를 도달하는 데 필요한 시간의 하한을 도출한다.
• 제어 행렬의 상사와 그 여수차수를 기반으로 한 변환을 이용해 여수차수가 1인 경우의 정확한 표현을 유도한다.
• Goh 변환과 등가 시스템 표현을 활용해 원래 시스템의 제어 가능성과 투영된 시스템의 제어 가능성 간의 관계를 규명한다.
• 유도된 함수를 투영된 상태 궤적을 따라 적분하여 최소 시간에 대한 명시적 공식을 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유계 볼록 상태 제약 조건을 가진 비선형 제어 시스템이 제약 조건 집합의 내부에서 초기 상태에서 최종 상태로 이동하는 데 필요한 최소 시간는 얼마인가?
• RQ2 최소 제어 가능 시간가 정확히 계산될 수 있는 조건는 무엇이며, 언제는 오직 하한만 도출될 수 있는가?
• RQ3 원래 시스템의 제어 가능 시간는 저차원 투영된 시스템의 제어 가능 시간와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ4 제어 행렬의 치역의 여수차수는 최소 제어 가능 시간를 결정하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 제어 치역의 여수차수가 1일 경우 최소 시간가 닫힌 형태로 표현될 수 있는가?

주요 결과

• 제어 행렬의 치역의 여수차수가 1인 시스템의 경우, 최소 제어 가능 시간는 명시적 적분 표현으로 주어진다: TC(y0, y1) = 1/(2√2) ∫_{κ∈[−0.4,0.6]} dκ / (1 + 2 min(0, κ)) = 1/(2√2)(0.6 + ln 5).
• 일반적인 경우, 미분 부등식 비교 원리를 이용해 최소 제어 가능 시간에 대한 하한이 유도되며, 주어진 거리 M에 대해 T ≥ ∫₀ᴹ dv/g(v) 를 보장한다.
• 이 방법은 드리프트 필드가 특정 점으로 향하는 비선형 시스템의 최소 시간를 성공적으로 계산하였으며, y0 = (−4,−1)⊤ 및 y1 = (4,−2)⊤ 일 때 TC(y0, y1) ≈ 843.82 를 도출하였다.
• 이 접근법은 제약 조건 집합 내의 모든 점이 주어진 초기 점에서 도달 가능한 것은 아님을 보여주며, 예를 들어 y2 = (−0.6,0.6)⊤ 는 유도된 함수의 음수 값으로 인해 y0 로부터 도달 불가능하다.
• 결과들은 최소 제어 가능 시간가 제약 조건 집합의 기하학적 구조와 제어 행렬의 구조에 의해 크게 영향을 받으며, 정확한 표현은 여수차수 조건이 특정일 때만 도출 가능하다는 것을 보여준다.
• 논문은 원래 시스템의 최소 시간가 투영된 저차원 시스템의 최소 시간보다 아래로 내려가지 않음을 증명하며, 일반 조건에서는 등호가 성립한다.