[论文解读] Minimal Lagrangian tori in Kahler Einstein manifolds

Edward Goldstein|ArXiv.org|Jul 22, 2000

Geometry and complex manifolds参考文献 9被引用 5

一句话总结

该论文通过环面作用在具有正数量曲率的凯勒爱因斯坦流形中构造了极小拉格朗日子流形。证明了对于复维数为 $ n $ 的环面凯勒爱因斯坦流形，存在唯一一个正则轨道是极小拉格朗日子流形，且存在一列非平坦的、$ T^{n-1} $-不变的极小拉格朗日子流形，它们在 $ k \to \infty $ 时局部收敛于该轨道，且曲率与距离均趋于零。

ABSTRACT

In this paper we use structure preserving torus actions on Kahler-Einstein manifolds to construct minimal Lagrangian submanifolds. Our main result is: Let N^2n be a Kahler-Einstein manifold with positive scalar curvature with an effective T^n-action. Then precisely one regular orbit L of the T-action is a minimal Lagrangian submanifold of N. Moreover there is an (n-1)-torus T^n-1 in T^n and a sequence of non-flat immersed minimal Lagrangian tori L_k in N, invariant under T^n-1 s.t. L_k locally converge to L (in particular the supremum of the sectional curvatures of L_k and the distance between L_k and L go to 0 as k goes to infinity.

研究动机与目标

• 通过环面作用的对称性，在具有正数量曲率的凯勒爱因斯坦流形中构造极小拉格朗日子流形。
• 在 $ N $ 中的极小拉格朗日子流形与典范丛 $ K(N) $ 中的特殊拉格朗日子流形之间建立对应关系。
• 分析环面作用在环面凯勒爱因斯坦流形上的复杂性一情形（即 $ T^{n-1} $-作用），以构造浸入的极小拉格朗日子流形。
• 证明这些构造出的环面在 $ k \to \infty $ 时局部收敛于唯一的极小拉格朗日轨道，且曲率与距离趋于零。

提出的方法

• 利用 $ N $ 中的极小拉格朗日子流形与配备里奇平坦凯勒度量和全纯体积形式的典范丛 $ K(N) $ 中的 $ T $-不变特殊拉格朗日子流形之间的对应关系。
• 对 $ K(N) $ 的全空间应用辛约化，利用 $ N $ 和 $ K(N) $ 上的矩映射，将问题约化为在约化空间 $ Q $ 中寻找 $ Y' $-不变的特殊拉格朗日子流形。
• 在约化空间 $ S = X/T $ 上引入一个向量场 $ W $，表明 $ Y' $-不变的特殊拉格朗日子流形对应于 $ W $-流的轨线。
• 使用 $ K(N) $ 上的径向向量场 $ Y $，其流缩放纤维，并通过其在 $ Q $ 上的投影 $ Y' $ 定义特殊拉格朗日子流形的不变性条件。
• 应用实解析几何与流动力学，证明 $ W $-流轨线是周期的，且相应的极小拉格朗日子流形是非平坦的。
• 利用 $ R $-作用的完备性与映射 $ \xi $ 的连续性，证明周期轨线在解空间中稠密，并收敛于唯一的极小轨道。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有正数量曲率的环面凯勒爱因斯坦流形上，若存在有效 $ T^n $-作用，则是否存在唯一的极小拉格朗日子流形？
• RQ2 能否构造一列非平坦的、$ T^{n-1} $-不变的极小拉格朗日子流形，使其在局部收敛于该唯一的极小轨道？
• RQ3 当序列指标 $ k \to \infty $ 时，构造出的环面与极小轨道之间的曲率与距离的几何行为如何？
• RQ4 极小拉格朗日子流形在 $ N $ 中与 $ Q $ 中的 $ Y' $-不变特殊拉格朗日子流形之间的对应关系，如何促进构造过程？
• RQ5 在约化空间 $ S $ 上，$ W $-流在何种条件下产生周期轨线，从而生成浸入的极小拉格朗日子流形？

主要发现

• 在具有正数量曲率的环面凯勒爱因斯坦流形 $ N^{2n} $ 上，$ T^n $-作用的唯一正则轨道 $ L $ 是极小拉格朗日子流形。
• 在 $ N $ 中存在一列非平坦的、$ T^{n-1} $-不变的极小拉格朗日子流形 $ L_k $，每个均关于子环面 $ T^{n-1} \subset T^n $ 不变。
• 序列 $ L_k $ 局部收敛于唯一的极小拉格朗日轨道 $ L $，且 $ L_k $ 的截面曲率上确界在 $ k \to \infty $ 时趋于零。
• 当 $ k \to \infty $ 时，$ L_k $ 与 $ L $ 之间的距离也趋于零，且在法向量场的 $ C^\infty $ 拓扑下收敛。
• 由于其长度平方依赖于矩映射 $ \tau $，构造出的环面 $ L_k $ 是非平坦的，因为其上的基向量场 $ X_v $ 的长度平方在 $ L_k $ 上非常量。
• 约化空间 $ S $ 上的 $ W $-流周期轨线生成了 $ T^{n-1} $-不变的极小拉格朗日子流形 $ L_k $，且此类轨线在解空间中稠密。