[논문 리뷰] Minimax Solutions of Hamilton--Jacobi Equations with Fractional Coinvariant Derivatives

M. I. Gomoyunov|arXiv (Cornell University)|2020. 11. 23.

Fractional Differential Equations Solutions참고 문헌 37인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 Caputo 분수형 시스템의 최적 제어에서 발생하는 분수형 동반 미분계수(order α ∈ (0,1))를 갖는 해밀턴–아보이 방정식에 대한 최소최대 해법 개념을 제안한다. 이 접근법은 새로운 리아푸노프–크라소프스키 함수수 구성 방식을 통해 존재성, 유일성 및 고전적 해법과의 일致성을 확립하며, 이는 비국소적, 분수형 설정에서 일반화된 해법을 위한 필수적인 비교 원리임을 증명한다.

ABSTRACT

We consider a Cauchy problem for a Hamilton--Jacobi equation with coinvariant derivatives of an order $\alpha \in (0, 1)$. Such problems arise naturally in optimal control problems for dynamical systems which evolution is described by ordinary differential equations with the Caputo fractional derivatives of the order $\alpha$. We propose a notion of a generalized in the minimax sense solution of the considered problem. We prove that a minimax solution exists, is unique, and is consistent with a classical solution of this problem. In particular, we give a special attention to the proof of a comparison principle, which requires construction of a suitable Lyapunov--Krasovskii functional.

연구 동기 및 목표

• Caputo 분수형 미분방정식으로 제어되는 최적 제어 문제에서 값 함수의 고전적 미분 가능성 부족 문제를 해결한다.
• 해밀턴–아보이 방정식에 대한 일반화된 해법 개념—최소최대 해법—을 분수형 동반 미분계수와 함께 개발한다.
• 일반화된 해법에 대한 비교 원리를 확립하며, 이는 유일성과 고전적 해법과의 일치성에 핵심적이다.
• 해밀턴함수와 경계 데이터에 대한 표준 가정 하에 최소최대 해법의 존재성과 유일성을 증명한다.
• 분수형 동역학의 맥락에서 최적 제어 이론과 점성 유사 해법 개념 사이의 격차를 메운다.

제안 방법

• Caputo 미분계수의 순서 α를 포함하는 분수형 특성 미분포함수 포함관계에 대한 비국소적 안정성 성질을 통해 최소최대 해법을 정의한다.
• 동적 프로그래밍 원리를 활용하여 값 함수를 분수형 동반 미분계수를 갖는 해밀턴–아보이 방정식과 연결한다.
• 분수적 적분과 Caputo 미분의 성질에 맞게 특화된 리아푸노프–크라소프스키 함수수를 구성하여 비교 원리를 증명하며, 이는 주요 기술적 혁신이다.
• 특히 Caputo 유형의 분수형 포함관계의 해집합 성질을 활용한 미분포함수 이론의 기법을 적용한다.
• 특성 궤적의 최소 및 최대 콘볼루션을 통해 상한 및 하한 해를 구성함으로써 최소최대 해법을 도출한다.
• 특성 궤적에서 유도된 후보 함수수에 상한 및 하한 닫힘 연산을 적용하여 최종 최소최대 해법을 정의함으로써 필수적인 상한 연속성 및 비교 성질을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고전적 해법이 부드러움이 부족하여 실패할 경우, 분수형 동반 미분계수를 갖는 해밀턴–아보이 방정식에 대한 일반화된 해법 개념은 어떻게 정의할 수 있는가?
• RQ2 최소최대 의미에서 이러한 일반화된 해법의 존재성과 유일성을 보장하는 조건은 무엇인가?
• RQ3 분수형 동역학과 비국소적 동역학 맥락에서 분수형 미분포함수 포함관계와 관련하여 비교 원리는 어떻게 확립할 수 있는가?
• RQ4 값 함수가 부드럽다면 최소최대 해법과 고전적 해법 사이의 관계는 어떠한가?
• RQ5 분수형 시스템에서 비교 원리를 뒷받침할 수 있는 적절한 리아푸노프–크라소프스키 함수수를 구성할 수 있는가?

주요 결과

• 분수형 동반 미분계수의 순서 α ∈ (0,1)를 갖는 해밀턴–아보이 방정식의 초기값 문제에 대해 최소최대 해법이 존재한다.
• 해밀턴함수와 경계 데이터에 대한 가정 (H.1)–(H.3) 및 (σ) 하에 최소최대 해법은 유일하다.
• 값 함수가 충분히 부드럽을 경우(α 순서의 ci-부드러움), 최소최대 해법은 고전적 해법과 일致한다.
• 분수적 적분과 Caputo 미분의 성질에 맞게 특화된 리아푸노프–크라소프스키 함수수를 구성함으로써 비교 원리가 확립된다.
• 비교 원리의 증명은 분수적 적분을 포함하는 새로운 추정과 분수형 미분포함수 포함관계의 해집합의 컴팩턴스에 기반한다.
• 최소최대 해법은 특성 궤적에서 유도된 후보 함수수에 대한 닫힘 연산을 통해 상한 해의 최소값과 하한 해의 최대값으로 구성된다.