[논문 리뷰] Minimum Entangling Power is Close to Its Maximum

Jianxin Chen, Zhengfeng Ji외 3명|arXiv (Cornell University)|2012. 10. 04.

Quantum Information and Cryptography참고 문헌 35인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 대부분의 양자 게이트에서 바르누아 엔트로피 또는 스미트 랭크를 통해 측정한 최소 얽힘 능력이 일반적으로 최대 값에 매우 가까운 것을 보여준다. 이는 무작위 게이트의 가장 약한 얽힘 능력조차도 거의 최대 수준임을 시사한다. 농도 측정과 리프시츠 연속성의 기법을 사용하여, 저자들은 무작위 유니터리가 거의 확실히 모든 제품 상태를 근처 최대 얽힘 상태로 변환함을 보이며, 이는 이분 및 다분할계 시스템에서 얽힘 생성에 내재된 고장 내성성을 확립한다.

ABSTRACT

Given a quantum gate $U$ acting on a bipartite quantum system, its maximum (average, minimum) entangling power is the maximum (average, minimum) entanglement generation with respect to certain entanglement measure when the inputs are restricted to be product states. In this paper, we mainly focus on the 'weakest' one, i.e., the minimum entangling power, among all these entangling powers. We show that, by choosing von Neumann entropy of reduced density operator or Schmidt rank as entanglement measure, even the 'weakest' entangling power is generically very close to its maximal possible entanglement generation. In other words, maximum, average and minimum entangling powers are generically close. We then study minimum entangling power with respect to other Lipschitiz-continuous entanglement measures and generalize our results to multipartite quantum systems. As a straightforward application, a random quantum gate will almost surely be an intrinsically fault-tolerant entangling device that will always transform every low-entangled state to near-maximally entangled state.

연구 동기 및 목표

• 평균 또는 최대 얽힘 능력에 비해 아직 잘 이해되지 않은 최소 얽힘 능력의 성질을 조사하기 위해.
• 일반적인 양자 게이트의 가장 약한 얽힘 능력이 여전히 최대 가능한 얽힘에 가까운지 확인하기 위해.
• 이분계에서의 결과를 다분할계 양자 시스템으로 확장하고, 무작위 유니터리 진동에 의한 일반적인 얽힘 생성을 확립하기 위해.
• 양자 동역학이 얽힘 생성에 있어 강건성을 보장하는 이론적 기초를 제공하며, 고장 내성 양자 계산에 대한 영향을 고려하기 위해.

제안 방법

• 저자들은 랜덤 유니터리 게이트를 샘플링하기 위해 하르 측도를 사용하고, 그들의 얽힘 능력 분포를 분석한다.
• 농도 측정 현상의 응용을 통해 일반적인 게이트에서 최소 얽힘 능력이 평균 주위에 좁게 뭉쳐져 있음을 보여준다.
• 바르누아 엔트로피의 경우 하한을 유도한다: $ P_{\min}^{(S_v)}(U) \geq \log d_A - \frac{d_A}{d_B \ln 2} - 1 $, 일반적인 $ U $에 대해 유효하다.
• 꼬리 확률의 경계를 사용하여 리프시츠 연속성 얽힘 측정법으로 일반화한다: $ \mu(|P_{\min}^{(f)}(U) - \mathbb{E}[P_{\min}^{(f)}(U)]| \geq \delta) < 2e^{-\frac{d_A d_B \delta^2}{4|f|_L^2}} $.
• 스미트 랭크의 경우 정확한 표현식을 유도한다: $ P_{\min}^{(SR)}(U) = \left\lceil \frac{d_A + d_B - \sqrt{(d_A - d_B)^2 + 4(d_A + d_B) - 8}}{2} \right\rceil $.
• 모든 이분할 분할에 대한 최소 얽힘 능력 정의를 통해 다분할계 시스템으로 프레임워크를 확장하고, $ \min d_i \geq 3 $ 일 때 거의 확실히 모든 제품 상태가 진정으로 얽힌 상태로 변환됨을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 무작위 양자 게이트의 최소 얽힘 능력이 일반적으로 그 최대 가능한 값에 매우 가까운가?
• RQ2 일반적인 양자 동역학에서 최대, 평균, 최소 얽힘 능력은 어떻게 비교되는가?
• RQ3 표준 얽힘 측정법을 사용하여 일반적인 유니터리에 대해 최소 얽힘 능력을 하한으로 제약할 수 있는가?
• RQ4 동일한 행동이 두 개 이상의 하위계를 가진 다분할계 시스템으로도 확장되는가?
• RQ5 무작위 양자 게이트는 얽힘 생성에 있어 내재된 고장 내성성을 갖는다고 볼 수 있는가?

주요 결과

• 일반적인 양자 게이트에서 바르누아 엔트로피에 대한 최소 얽힘 능력은 $ \log d_A - \frac{d_A}{d_B \ln 2} - 1 $ 이상이며, $ d_A \ll d_B $ 일 때 최대 값에 매우 가까운 편이다.
• 최소 얽힘 능력은 평균 주위에 매우 좁게 뭉쳐져 있다: $ \mu(|P_{\min}^{(S_v)}(U) - \mathbb{E}[P_{\min}^{(S_v)}(U)]| \geq \delta) \leq 2e^{-\frac{d_A d_B \delta^2}{32(\log d_A)^2}} $.
• 모든 리프시츠 연속성 얽힘 측정법 $ f $에 대해 최소 얽힘 능력은 $ \mu(|P_{\min}^{(f)}(U) - \mathbb{E}[P_{\min}^{(f)}(U)]| \geq \delta) < 2e^{-\frac{d_A d_B \delta^2}{4|f|_L^2}} $ 를 만족한다.
• 일반적인 게이트의 최소 스미트 랭크 얽힘 능력은 $ \left\lceil \frac{d_A + d_B - \sqrt{(d_A - d_B)^2 + 4(d_A + d_B) - 8}}{2} \right\rceil $ 이며, 일반적으로 크다.
• 최소 $ d_i \geq 3 $ 인 다분할계 시스템에서는 무작위 게이트가 거의 확실히 모든 제품 상태를 근처 최대 얽힘 상태로 변환한다.
• 다분할계 시스템에서 트레이스 노름 랭크에 대한 최소 얽힘 능력은 $ P_{\min}^{(TR)}(U) \geq \left\lceil \frac{d_0 - \sum_{i=1}^N d_i + N}{\sum_{i=1}^N d_i - N + 1} \right\rceil $ 를 만족하며, 특수한 경우(퇴적된 경우)는 제외한다.