[논문 리뷰] Mixed Integer Programming to Globally Minimize the Economic Load Dispatch Problem With Valve-Point Effect

Michael Azzam, Easter S. Suviseshamuthu외 2명|arXiv (Cornell University)|2014. 07. 16.

Electric Power System Optimization참고 문헌 15인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 밸브 포인트 효과를 고려한 경제적 부하 배분 문제(ELDP)의 전역 최소화를 위해 두 가지 혼합정수이차계획법(MIQP) 기반 방법을 제안한다. 이는 조각별 이차 보조 비용 함수를 사용한다. 첫 번째 방법은 고정된 유한한 수의 조각을 사용하여 전역 최적성을 확보하고, 두 번째 방법은 보조 근사치를 적응적으로 정밀화하여 전역 해로의 수렴을 보장하며, 최신 휠러스틱 알고리즘보다 해의 정확도와 계산 시간에서 뛰어나다.

ABSTRACT

Optimal distribution of power among generating units to meet a specific demand subject to system constraints is an ongoing research topic in the power system community. The problem, even in a static setting, turns out to be hard to solve with conventional optimization methods owing to the consideration of valve-point effects which make the cost function nonsmooth and nonconvex. This difficulty gave rise to the proliferation of population-based global heuristics in order to address the multi-extremal and nonsmooth problem. In this paper, we address the economic load dispatch problem (ELDP) with valve-point effect in its classic formulation where the cost function for each generator is expressed as the sum of a quadratic term and a rectified sine term. We propose two methods that resort to piecewise-quadratic surrogate cost functions, yielding surrogate problems that can be handled by mixed-integer quadratic programming (MIQP) solvers. The first method shows that the global solution of the ELDP can often be found by using a fixed and very limited number of quadratic pieces in the surrogate cost function. The second method adaptively builds piecewise-quadratic surrogate under-estimations of the ELDP cost function, yielding a sequence of surrogate MIQP problems. It is shown that any limit point of the sequence of MIQP solutions is a global solution of the ELDP. Moreover, numerical experiments indicate that the proposed methods outclass the state-of-the-art algorithms in terms of minimization value and computation time on practical instances.

연구 동기 및 목표

• 밸브 포인트 효과로 인해 부드럽지 않고 볼록이 아닌 비용 함수를 가진 경제적 부하 배분 문제(ELDP)의 전역 최소화를 다루기 위함.
• 집단 기반 휠러스틱 알고리즘의 한계를 극복하기 위함. 이들은 전역 수렴 보장을 하지 못하고, 확률적 성격과 재현 불가능성을 애초에 수반한다.
• 혼합정수계획법(MIP)을 활용한 결정론적이고 전역 수렴 보장이 가능한 방법을 개발하여 ELDP를 이론적 보장과 함께 해결하기 위함.
• 기존의 휠러스틱 및 하이브리드 알고리즘 대비 계산 효율성과 해의 정확도 향상을 도모하기 위함.
• 실제 발전기 비용 모델을 고려한 정적 및 잠재적으로 동적 ELDP 설정에 MIP 기법의 적용 가능성을 확장하기 위함.

제안 방법

• 밸브 포인트 효과 내의 정류된 사인 항을 조각별 이차 하한 근사치로 모델링하여 부드럽지 않은 비용 함수를 표현한다.
• 혼합정수이차계획법(MIQP) 솔버를 사용하여 보조 문제를 해결함으로써 전역 최적화를 가능하게 한다.
• 첫 번째 방법에서는 고정된 유한한 수의 이차 조각을 사용하여 많은 경우에 전역 최적성을 확보한다.
• 반복적으로 보조 비용 함수를 정밀화하는 적응형 알고리즘을 개발하여, 브레이크포인트 수를 줄이면서도 수렴성을 유지한다.
• 정류된 사인 항의 조각별 볼록성 특성을 활용하여 날카롭고 해석 가능한 하한 근사치를 구성한다.
• 수렴 분석에 기반하여, MIQP 해의 수열의 임의의 극한점이 원래 ELDP의 전역 최소화자임을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고정된 작은 수의 조각별 이차 조각으로도 밸브 포인트 비용 함수를 전역적으로 근사하고 정확한 전역 해를 도출할 수 있는가?
• RQ2 보조 비용 함수에 대한 적응적이고 반복적인 정밀화가 최소한의 계산 오버헤드로 진정한 ELDP 해로의 전역 수렴을 보장할 수 있는가?
• RQ3 제안된 MIQP 기반 접근법은 최신 휠러스틱 및 하이브리드 알고리즘 대비 해의 정확도와 계산 시간에서 어떤가?
• RQ4 이 방법은 손실이 있는 시스템이나 동적 ELDP 설정으로의 확장이 최소한의 수정으로 가능할 수 있는가?
• RQ5 밸브 포인트 효과의 조각별 볼록성 특성이 효율적이고 날카운 MIQP 기반 하한 근사치를 가능하게 하는 정도는 어느 정도인가?

주요 결과

• 40기자기 경우에서 제안된 방법은 121,412.54 $/h의 총 비용을 기록하며, 문헌에서 기록된 최고 성능과 동일한 결정론적 계산을 통해 도출되었다.
• 3기자기 경우에서 이 방법은 총 비용 121,415.31 $/h로 알려진 최고 성능을 달성하였으며, 실시간 0.116초 내에 이를 달성하였다.
• 적응형 방법은 케이스 IIb에서 알려진 최고 결과보다 0.005% 더 우수한 해를 도출하였으며, 총 비용은 24,169.92 $/h였다.
• 이 방법은 해의 정확도와 계산 시간 모두에서 최신 휠러스틱 알고리즘보다 뛰어나며, 결정론적이고 재현 가능한 결과를 제공한다.
• 수렴 분석을 통해, MIQP 해의 수열의 임의의 극한점이 원래 ELDP의 전역 최소화자임을 미약한 가정 하에 증명하였다.
• 손실이 있는 시스템에 대해서는 등식 제약 조건을 부등식 제약 조건으로 완화함으로써 이 방법을 확장할 수 있으며, 목표 함수가 단조증가하는 경우 해의 타당성이 유지된다.