[논문 리뷰] Mod $p$ points on Shimura varieties of parahoric level (with an appendix by Rong Zhou)

Pol van Hoften|arXiv (Cornell University)|2020. 10. 20.

Advanced Algebra and Geometry인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 GQp가 p에서 준위상일 때, 허드 타입 슈리마 다양체의 표준 정수 모형에서의 mod p 점들에 대한 모든 이소지니 클래스가 특수(CM) 점의 환원을 포함함을 증명한다. 이는 키티신–마다푸시페라–신의 추측을 확인하는 것으로, 증명은 매우 특수한 준위상의 경우로의 전역적 감소를 통해 이루어지며, 국소 shtuka 이론과 균일화를 활용하고, Rong Zhou의 부록에서 제공하는 매우 특수한 준위상에서의 아핀 덜레인–루스티그 다양체의 연결 성분에 대한 핵심 기술적 결과를 활용한다.

ABSTRACT

We study the mod $p$-points of the Kisin--Pappas integral models of Shimura varieties of Hodge type with parahoric level. We show that if the group is quasi-split, then every isogeny class contains the reduction of a CM point, proving a conjecture of Kisin--Madapusi-Pera--Shin. We furthermore show that the mod $p$ isogeny classes are of the form predicted by the Langlands--Rapoport conjecture if either the Shimura variety is proper or if the group at $p$ is unramified. The main ingredient in our work is a global argument that allows us to reduce the conjecture to the case of very special parahoric level. This case is dealt with in the appendix by Rong Zhou. As a corollary to our arguments, we determine the connected components of Ekedahl--Oort strata.

연구 동기 및 목표

• Hodge 타입 슈리마 다양체의 표준 정수 모형에서의 mod p 점들에 대한 모든 이소지니 클래스가 특수(CM) 점의 환원을 포함함을 증명한다.
• 추가 조건(예: 다양체의 완비성 또는 p에서의 비분할성) 하에서, 이러한 슈리마 다양체에 대해 Langlands–Rapoport 추측이 mod p 이소지니 클래스의 구조를 어떻게 예측하는지 검증한다.
• 이소지니 클래스의 균일화를 아핀 덜레인–루스티그 다양체와 shtuka 이론적 방법을 통해 수립한다.
• 매우 특수한 준위상에서의 아핀 덜레인–루스티그 다양체의 구조를 통해 Ekedahl–Oort 스트라타의 연결 성분을 규명한다.

제안 방법

• 전역적 추론을 통해 일반적인 준위상의 경우를 매우 특수한 준위상의 경우로 감소시킨다.
• mod p 점들을 연구하기 위해 국소 shtuka 이론과 아핀 플라그 다양체, 아핀 덜레인–루스티그 다양체 이론을 적용한다.
• G(Ap_f)의 작용에 의한 X(μ, b)K(Fp)에서의 이소지니 클래스의 균일화와 Φ 연산자를 통한 프로베니우스 작용을 이용한다.
• 완벽한 국소 모형 다이어그램과 카르테시안 다이어그램 추론을 통해 mod p 점들을 국소 shtuka 자료와 연결한다.
• Rong Zhou의 부록을 활용하여 매우 특수한 준위상에서의 아핀 덜레인–루스티그 다양체의 연결 성분을 분석하며, 특히 뉴턴 분할의 맥락에서 다룬다.
• 디에우당 이론과 준위상군 스킴 이론을 적용하여 슈리마 다양체 위의 점들을 G(Qp)/G(Zp)의 원소들과 G(Ap_f)-torsor에 연결한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 GQp가 p에서 준위상일 때, Hodge 타입의 준위상 슈리마 다양체의 mod p 점들에 대한 모든 이소지니 클래스는 특수(CM) 점의 환원을 포함하는가?
• RQ2 스킴이 완비이거나 p에서 비분할일 경우, 이러한 슈리마 다양체에 대해 Langlands–Rapoport 추측이 mod p 이소지니 클래스의 구조를 어떻게 예측하는가?
• RQ3 이러한 슈리마 다양체에서 Ekedahl–Oort 스트라타의 연결 성분은 무엇이며, 아핀 덜레인–루스티그 다양체의 기하학과 어떻게 관련되는가?
• RQ4 이소지니 클래스의 균일화는 국소 shtuka 자료와 프로베니우스 연산자 Φ의 작용을 통해 어떻게 수립할 수 있는가?
• RQ5 매우 특수한 준위상에서의 아핀 덫레인–루스티그 다양체의 연결 성분의 정확한 구조는 무엇이며, 이는 슈리마 다양체의 전반적 기하학과 어떻게 관련되는가?

주요 결과

• 논문은 키티신–마다푸시페라–신의 추측 1을 확인한다: GQp가 p에서 준위상일 때, SU(G, X)(Fp)의 모든 이소지니 클래스는 특수 점의 환원을 포함한다.
• 스킴이 완비이거나 p에서 비분할일 경우, mod p 이소지니 클래스의 구조는 Langlands–Rapoport 추측(문헌 [52]의 추측 9.2)의 예측과 일치한다.
• Ekedahl–Oort 스트라타의 연결 성분은 Rong Zhou의 부록에서 확립된 매우 특수한 준위상에서의 아핀 덜레인–루스티그 다양체의 연결 성분을 통해 규명된다.
• G(Ap_f)-등변 이중사상 Ix(Q)\X(μ, b)K(Fp) × G(Ap_f) → Ix를 통한 이소지니 클래스의 균일화가 수립된다.
• 매우 특수한 준위상에서, X(μ, b)K(Fp) → SU(G, X)(Fp)의 사상이 전사적이며 프로베니우스와 호환됨을 보여, 이 경우 CM 릿지의 존재를 확인한다.
• 부록의 핵심 기술적 결과는 X(μ, b)K◦ = X(μ, b)K임을 보여주며, 즉 매우 특수한 준위상에서 특수 점으로의 릿지가 가능한 점들의 집합이 전체 아핀 덜레인–루스티그 다양체임을 의미한다.