[논문 리뷰] Model sets with positive entropy in Euclidean cut and project schemes

Tobias Jäger, Daniel Lenz외 1명|arXiv (Cornell University)|2016. 05. 04.

Topological and Geometric Data Analysis참고 문헌 22인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 유클리드 공간에서 창문의 내부가 공집합이어도 관련 델로네 동역계에서 양의 위상 엔트로피를 갖는 유클리드 모델 집합을 잘라내고 투영하는 방식을 통해 구성한다. 확률적 및 결정론적 구성 방법을 사용하여 엔트로피가 창문의 경계 측도에 비례함을 보이며, 유클리드 설정에서 양의 엔트로피를 갖는 첫 번째 모델 집합 예를 제공한다.

ABSTRACT

We construct model sets arising from cut and project schemes in Euclidean spaces whose associated Delone dynamical systems have positive toplogical entropy. The construction works both with windows that are proper and with windows that have empty interior. In a probabilistic construction, the entropy almost surely turns out to be proportional to the measure of the boundary of the window.

연구 동기 및 목표

• 유클리드 공간에서 잘라내고 투영하는 방식을 사용하여 동역계에서 양의 위상 엔트로피를 갖는 모델 집합을 구성하는 것.
• 창문의 내부가 공집합이어도 이러한 양의 엔트로피가 발생할 수 있음을 보여주어, 규칙성이 0 엔트로피를 암시한다는 가정에 도전하는 것.
• 창문의 기하학적 복잡성(특히 경계 측도)과 시스템의 동역학적 혼돈 사이의 관계를 설정하는 것.
• 비정규적 질서를 이해하는 데 기여하기 위해 퀀트크리스탈과 비정질 배열 사이의 중간 모델을 도입하는 것.

제안 방법

• G×H에서의 격자와 H의 부분집합인 창문 W⊆H를 사용하여 유클리드 공간에서 잘라내고 투영하는 방식(CPS)을 통해 모델 집합을 구성하는 것.
• 모델 집합을 Λ = π_G(L ∩ (G×W))로 정의하며, 여기서 L은 격자를 G로 투영한 것이다.
• 창문을 무작위로 생성하는 확률적 구성 방법을 사용하여, 거의 확실하게 엔트로피가 창문의 경계 측도에 비례함을 보이는 것.
• 내부 공간의 집합들 간의 거리 독립성을 활용하여 힐(hull)에 전형적 시프트를 임bedding함으로써 양의 엔트로피를 유도하는 것.
• 점들이 L*에 대해 수축하는 이웃 영역을 제거하여 칸토어 유사 집합 C₀를 만들고, 국소적으로 독립적인 집합을 붙여넣는 결정론적 구성 방법을 적응하는 것.
• 내부 군 H의 차원을 높이는 데로 결과를 확장하기 위해, 위상적 독립성과 경계 복잡성을 유지하도록 구성 방법을 수정하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 내부가 공집합인 창문을 가진 유클리드 잘라내고 투영 방식에서 모델 집합이 양의 위상 엔트로피를 갖을 수 있는가?
• RQ2 창문의 경계 측도와 관련된 델로네 동역계의 위상 엔트로피 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ3 창문의 무작위 구성이 거의 확실하게 양의 엔트로피를 갖는 모델 집합을 생성할 수 있는가?
• RQ4 두꺼운 경계 또는 비자명한 경계 구조의 존재는 동역학 스펙트럼과 엔트로피에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 이러한 구성은 내부 군 H의 차원을 높여도 양의 엔트로피를 유지하면서 일반화될 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 유클리드 잘라내고 투영 방식에서 양의 위상 엔트로피를 갖는 모델 집합을 구성하여, 이 설정에서 처음으로 그러한 예를 제공한다.
• 무작위로 생성된 창문에 대해서는 위상 엔트로피가 거의 확실하게 창문의 경계의 하르 측도에 비례한다.
• 창문의 내부가 공집합이어도, 힐(hull)에 전형적 시프트가 임베딩되어 있어 관련 델로네 동역계가 양의 위상 엔트로피를 가질 수 있다.
• 구성은 내부 공간의 집합들 간의 거리 독립성에 의존하며, 이는 거의 모든 창문의 이동에 대해 힐에 전형적 시프트가 존재함을 보장한다.
• 결과는 내부 군 H가 고차원일 경우에도 확장되며, 유사한 구성 방법을 통해 양의 엔트로피를 갖는 모델 집합을 얻을 수 있다.
• 창문의 내부가 공집합일 경우, 동역계는 유일 측도가 아님을 보이며, 힐에 공집합이 포함되어 있어 정규 모델 집합의 규칙성과 결여되어 있다.