[논문 리뷰] Moduli Spaces of Abelian Vortices on Kahler Manifolds

Jorge Baptista|arXiv (Cornell University)|2012. 10. 31.

Geometry and complex manifolds참고 문헌 26인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 컴acts Kähler 다양체 위의 아벨 게이지된 선형 시그마 모형(GLSM)에 대해 히친-코바야시 대응을 수립하며, 기저 다양체가 단순연결이거나 아벨 다양체인 경우 바이러스 해의 모듈리 공간을 토릭 오비폴드로 명시적으로 기술한다. 이 모듈리 공간의 $L^2$-메트릭의 켈러 클래스, 부피, 총 스칼라 곡률을 계산하고, 이를 토릭 목표로 향하는 헬로모르픽 맵의 컴actification으로 식별함으로써, $\mathbb{CP}^m \to \mathbb{CP}^n$와 같은 맵 공간의 부피에 대한 추측을 이끌어내며, 기존의 2차원 바이러스 모듈리 공간을 고차원으로 일반화한 명시적인 기하학적 및 위상수학적 기술을 제공한다.

ABSTRACT

We consider the self-dual vortex equations on a positive line bundle L --> M over a compact Kaehler manifold of arbitrary dimension. When M is simply connected, the moduli space of vortex solutions is a projective space. When M is an abelian variety, the moduli space is the projectivization of the Fourier-Mukai transform of L. We extend this description of the moduli space to the abelian GLSM, i.e. to vortex equations with a torus gauge group acting linearly on a complex vector space. After establishing the Hitchin-Kobayashi correspondence appropriate for the general abelian GLSM, we give explicit descriptions of the vortex moduli space in the case where the manifold M is simply connected or is an abelian variety. In these examples we compute the Kaehler class of the natural L^2-metric on the moduli space. In the simplest cases we compute the volume and total scalar curvature of the muduli space. Finally, we note that for abelian GLSM the vortex moduli space is a compactification of the space of holomorphic maps from M to toric targets, just as in the usual case of M being a Riemann surface. This leads to various natural conjectures, for instance explicit formulae for the volume of the space of maps CP^m --> CP^n.

연구 동기 및 목표

• 고차원 Kähler 다양체 위의 아벨 GLSM에 대해 히친-코바야시 대응을 확장하는 것.
• 기저 다양체가 단순연결이거나 아벨 다양체인 경우 바이러스 해의 모듈리 공간에 대한 명시적인 기하학적 기술을 제공하는 것.
• $L^2$-메트릭의 켈러 클래스, 부피, 총 스칼라 곡률을 모듈리 공간에서 계산하는 것.
• 모듈리 공간을 토릭 다양체로 향하는 헬로모르픽 맵의 컴actification으로 식별하여 2차원 경우를 일반화하는 것.
• 헬로모르픽 맵 공간, 예를 들어 $\mathbb{CP}^m \to \mathbb{CP}^n$의 부피에 대한 추측을 수립하는 것.

제안 방법

• 안정성 조건과 순간 맵 기법을 사용하여 아벨 GLSM에 대해 일반화된 히친-코바야시 대응를 수립하는 것.
• 모듈리 공간을 이중 아벨 다양체 위의 이중 선다발의 프로젝티브화로 기술하기 위해 푸리에-무카이 변환을 사용하는 것.
• $L^2$-메트릭 체계를 적용하여 곡률 및 체르니 클래스 적분을 통해 모듈리 공간의 켈러 클래스를 계산하는 것.
• 토릭 기하학과 콘 분해를 활용하여 모듈리 공간을 토릭 오비폴드로 분석하는 것.
• 유니버설 볼록과 헬로모르픽 단면 이론을 활용하여 바이러스 해를 토릭 목표로 향하는 헬로모르픽 맵과 연결하는 것.
• 모듈리 공간 구성에서 안정성 및 내부 조건을 확보하기 위해 콘 기하학과 계수의 양성에 관한 보조 정리를 활용하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 임의의 차원을 가진 단순연결 Kähler 다양체 위의 아벨 바이러스 모듈리 공간의 명시적 기하학적 구조는 무엇인가?
• RQ2 아벨 다양체 위의 아벨 GLSM 바이러스 모듈리 공간은 원래 선다발의 푸리에-무카이 변환과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ3 $L^2$-메트릭의 켈러 클래스는 단순연결 다양체와 아벨 다양체의 경우에 대해 모듈리 공간에서 어떻게 계산되는가?
• RQ4 모듈리 공간은 어떻게 토릭 다양체로 향하는 헬로모르픽 맵 공간의 컴actification으로 해석될 수 있는가?
• RQ5 헬로모르픽 맵 공간, 예를 들어 $\mathbb{CP}^m \to \mathbb{CP}^n$의 부피에 대해 명시적인 공식을 추측할 수 있는가?

주요 결과

• 기저 다양체 $M$가 단순연결일 경우, 바이러스 해의 모듈리 공간 $\mathcal{M}$은 복소 프로젝티브 공간이다.
• 기저 다양체 $M$가 아벨 다양체일 경우, $\mathcal{M}$은 이중 아벨 다양체 $\hat{M}$ 위의 푸리에-무카이 변환 $\hat{L} \to \hat{M}$의 프로젝티브화이다.
• $L^2$-메트릭의 켈러 클래스는 곡률 형식과 체르니 클래스의 적분을 통해 명시적으로 계산된다.
• 가장 단순한 경우에 대해, $\mathcal{M}$의 부피와 총 스칼라 곡률은 $L^2$-메트릭 구조를 활용하여 계산된다.
• 모듈리 공간 $\mathcal{M}$은 $M$에서 토릭 목표로 향하는 헬로모르픽 맵 공간의 컴actification으로 해석되며, 2차원 경우를 일반화한다.
• 논문은 $L^2$-메트릭 기하학에 기반하여, $\mathbb{CP}^m \to \mathbb{CP}^n$와 같은 헬로모르픽 맵 공간의 부피에 대한 추측을 수립한다.