[논문 리뷰] Moduli Spaces of Semistable Sheaves on Projective Deligne-Mumford Stacks

Fabio Nironi|ArXiv.org|2008. 11. 12.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 34인용 수 42

한 줄 요약

이 논문은 생성층과 분할을 사용하여 프로젝티브 딜라인-멈포드 스택 위의 반안정층의 모듈리 공간을 구성하기 위한 일반적 프레임워크를 수립한다. Gieseker 유형의 안정성 조건을 도입하고, 코herent sheaf의 스택이 대수적이고 매끄러운 아틀라스를 갖는다는 것을 증명하며, 반안정층의 모듈리 스택을 유한형 전역 몫으로 구성한다. 또한 이 구성은 기존의 왜곡된 층과 파라보릭 번들의 모듈리 공간을 특수한 경우로 복원한다.

ABSTRACT

We introduce a notion of Gieseker stability for coherent sheaves on tame Deligne-Mumford stacks with projective moduli scheme and some chosen generating sheaf on the stack in the sense of Olsson and Starr \cite{MR2007396}. We prove that this stability condition is open, and pure dimensional semistable sheaves form a bounded family. We explicitly construct the moduli stack of semistable sheaves as a finite type global quotient, and study the moduli scheme of stable sheaves and its natural compactification in the same spirit as the seminal paper of Simpson \cite{MR1307297}. With this general machinery we are able to retrieve, as special cases, results of Lieblich \cite{MR2309155} and Yoshioka \cite{MR2306170} about moduli of twisted sheaves and parabolic stability introduced by Maruyama-Yokogawa in \cite{MR1162674}.

연구 동기 및 목표

• 인간적이고 프로젝티브인 딜라인-멈포드 스택 위의 코herent sheaf에 대해 생성층과 분할을 사용한 Gieseker 안정성의 개념을 정의한다.
• 이러한 스택 위의 코herent sheaf 스택이 대수적임을 증명하고, Quot 함수를 통해 매끄러운 아틀라스를 갖는다는 것을 보인다.
• 반안정층의 모듈리 스택을 유한형 전역 몫으로 구성하고, 그의 컴actification을 연구한다.
• 루트 스택 위의 반안정층의 모듈리 공간이 파라보릭 층의 모듈리 공간과 동형임을 보이며, Maruyama-Yokogawa 및 기타 연구 결과를 복원한다.
• 기존의 왜곡된 층과 파라보릭 번들의 모듈리 구성들을 단일 스택 이론적 프레임워크 안에서 통합하고 일반화한다.

제안 방법

• 모듈리 스킴으로의 푸시포워드와 선택된 분할을 통해 정의된 수정된 힐버트 다항식을 기반으로 한 안정성 조건을 도입한다.
• 평탄한 몫을 매개화하기 위해 Quot 함수 $\mathcal{Q}_{N,m} = \operatorname{Quot}_{\mathcal{X}/S}(\mathcal{E}^{\oplus N} \otimes \pi^*\mathcal{O}_X(-m))$ 를 사용하며, 이는 프로젝티브 스킴에 의해 표현 가능하다.
• 이 Quot 스킴의 열린 부분스킴들 $\coprod \mathcal{Q}^{0}_{N,m}$ 의 분리합집합으로 스택 $\mathfrak{Coh}_{\mathcal{X}/S}$ 의 매끄러운 아틀라스를 구성한다.
• 인간적 설정에서 코homology와 기저 변경, 반연속성, 평탄성 기준을 적용하여 안정성의 열린성과 반안정 가족의 유계성을 확보한다.
• 루트 구성법을 사용하여 스택 위의 층과 스킴 위의 파라보릭 층을 연결하며, 평탄한 가족과 안정성 조건의 동치성을 보여준다.
• 전역 몫 스택의 기계를 적용하여 반안정층의 모듈리 스택을 유한형 아르틴 스택으로 구성한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 생성층과 분할을 사용하여 프로젝티브 딜라인-멈포드 스택 위의 코herent sheaf에 대해 Gieseker 유형의 안정성 조건을 정의할 수 있는가?
• RQ2 이러한 스택 위의 코herent sheaf 스택은 대수적인가? 그리고 명시적인 매끄러운 아틀라스를 갖는가?
• RQ3 프로젝티브 딜라인-멈포드 스택 위의 반안정층의 모듈리 스택은 유한형 전역 몫 구성법을 갖는가?
• RQ4 이 일반적 프레임워크는 기존의 왜곡된 층과 파라보릭 번들의 모듈리 공간을 특수한 경우로 복원할 수 있는가?
• RQ5 루트 스택 위의 반안정층의 모듈리 공간은 기저 스킴 위의 파라보릭 층의 모듈리 공간과 동형인가?

주요 결과

• 프로젝티브 딜라인-멈포드 스택 위의 코herent sheaf 스택 $\mathfrak{Coh}_{\mathcal{X}/S}$ 는 대수적이며, Quot 스킴의 열린 부분스킴들 $\coprod \mathcal{Q}^{0}_{N,m}$ 의 분리합집합으로 주어진 매끄러운 아틀라스를 갖는다.
• 수정된 힐버트 다항식을 통한 정의된 안정성 조건은 열려 있으며, 순수 차원의 반안정층은 유계 가족을 이룬다.
• 반안정층의 모듈리 스택은 유한형 전역 몫 스택으로 구성되며, Simpson의 접근을 스택으로 일반화한다.
• 생성층 $\mathcal{E} = \bigoplus_{i=0}^d \mathcal{O}_{\mathcal{X}}(i\mathcal{D})$ 와 함께 루트 스택 $\mathcal{X} = \sqrt[d]{D/X}$ 에 대해, 반안정층의 모듈리 공간은 고정된 무게를 갖는 파라보릭 층의 코arse 모듈리 공간과 동형이다.
• 스택 $\mathcal{X}$ 위의 반안정층의 모듈리 공간 $M^{ss}(\mathcal{O}_X(1), \mathcal{E}, P)$ 는 Maruyama-Yokogawa [MY, 92, Def 1.14] 에서 정의된 파라보릭 층의 코arse 모듈리 공간과 동형이다.
• 스택 $\mathcal{X}$ 위의 안정층의 모듈리 공간 $M^s(\mathcal{O}_X(1), \mathcal{E})$ 는 [MY, 92, Thm 3.6] 에서 정의된 안정 파라보릭 층의 모듈리 공간과 동형이다.