[논문 리뷰] Moduli spaces of SL(r)-bundles on singular irreducible curves

Xiaotao Sun|ArXiv.org|2003. 03. 17.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 10인용 수 15

한 줄 요약

이 논문은 하나의 노드를 가진 특이 비가역 곡선 위의 SL(r)-_bundle에 대해 일반화된 Gieseker 공간을 사용하여 잘 정의된 모듈리 공간을 구축하며, 고정된 행렬식을 가진 벡터(bundle)의 열화 가닥의 체계적 이미지가 순수 코드이먼스 g를 가진 Cohen-Macaulay 부분스킴임을 증명한다. 이 구성은 고정된 행렬식을 가진 반안정층의 모듈리 공간에 자연스러운 스킴 구조를 제공하여 SL(r)-bundle의 모듈리 공간에서의 열화에 대한 오랜 동안 미해결이었던 문제를 해결한다.

ABSTRACT

For a stable irreducible curve $X$ and a torsion free sheaf $L$ on $X$ of rank one and degree $d$, D.S. Nagaraj and C.S. Seshadri ([NS]) defined a closed subset $\Cal U_X(r,L)$ in the moduli space of semistable torsion free sheaves of rank $r$ and degree $d$ on $X$. We prove that $\Cal U_X(r,L)$ is irreducible, when a smooth curve $Y$ specializes to $X$ and a line bundle $\Cal L$ on $Y$ specializes to $L$, the specialization of moduli space of semistable rank $r$ vector bundles on $Y$ with fixed determinant $\Cal L$ has underlying set $\Cal U_X(r,L)$. For rank 2 and 3, we show that there is a Cohen-Macaulay closed subscheme in the Gieseker space which represents a suitable moduli functor and has good specialization property.

연구 동기 및 목표

• 특이 비가역 곡선 위의 SL(r)-bundle에 대해 열화 자료에 종속되지 않는 자연스럽고 내재된 모듈리 공간을 정의하기.
• 특히 행렬식이 국소적으로 자유롭지 않은 경우, 특이 곡선 위의 SL(r)-bundle에 대해 잘 정의된 모듈리 공간을 구성하는 열린 문제를 해결하기.
• 고정된 행렬식을 가진 벡터층의 열화 가닥의 체계적 이미지가 일반화된 Gieseker 공간 내에서 Cohen-Macaulay 부분스킴이 됨을 증명하기.
• 이 구성이 부드러운 곡선에서 특이 곡선으로의 열화 과정에서 기대되는 전이 성질을 만족함을 증명하기.

제안 방법

• 일개의 노드를 가진 특이 곡선 X 위의 반안정층의 모듈리 공간을 콪팩티피케이션하기 위해 일반화된 Gieseker 공간 G(r,d)를 사용한다.
• 벡터층의 사상의 분열 위치로서 G(r,L) ⊂ G(r,d)의 닫힌 부분스킴을 구성하여 고정된 행렬식 L을 가진 층의 모듈리 함수를 표현한다.
• 이산 평가환의 위에서의 평탄한 가닥 이론을 적용하여, 부드러운 섬유에서 특이 섬유로의 고정된 행렬식을 가진 벡터층의 모듈리 공간의 전이를 연구한다.
• G(r,L) × J⁰_X → G(r,d)의 사상 φ를 사용하여 정규화로의 풀백을 통해 차원과 코드이먼스의 경계를 분석하고 증명한다.
• φ의 이미지가 σ: J⁰_X → J⁰_~X의 풀백의 유한한 수의 섬유에 포함됨을 이용하여, 섬유 차원을 유계화하고 코드이먼스 g를 증명한다.
• r ≤ 3 또는 r = 4 이며 X의 정규화가 초타원적이지 않은 조건 하에서 G(r,L)가 Cohen-Macaulay이자 순수 코드이먼스 g임을 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 특이 비가역 곡선 위에 하나의 노드를 가진 SL(r)-bundle의 반안정층 모듈리 공간에 대해, 열화 자료에 종속되지 않는 자연스러운 스킴 구조를 정의할 수 있는가?
• RQ2 부드러운 곡선 위의 고정된 행렬식을 가진 벡터층의 모듈리 공간의 전이가 특이 극한에서 잘 정의된 부분스킴을 유도하는가?
• RQ3 모듈리 공간 U_X(r,d) 내에서 고정된 행렬식 L을 가진 층의 부분스킴이 자연스럽게 Cohen-Macaulay 스킴 구조를 지니는가?
• RQ4 어떤 조건에서 G(r,L) ⊂ G(r,d)의 분열 위치가 순수 코드이먼스 g를 가지며, 좋은 모듈리 함수를 표현하는가?

주요 결과

• 노드 하나를 가진 비가역 곡선 X와 degree d인 선다발 L에 대해, 고정된 행렬식 L을 가진 벡터층의 열화의 체계적 이미지는 G(r,d) 내의 닫힌 부분스킴 G(r,L) ⊂ G(r,d)이다.
• r ≤ 3 또는 r = 4 이며 X의 정규화가 초타원적이지 않은 경우, G(r,L)는 G(r,d) 내에서 Cohen-Macaulay이자 순수 코드이먼스 g를 가진다.
• G(r,L)의 코드이먼스는 정확히 g이며, 이는 열화하는 모듈리 공간의 가닥이 기저 위에서 기약, 기약, 그리고 Cohen-Macaulay이며 코드이먼스 g임을 의미한다.
• φ: G(r,L) × J⁰_X → G(r,d)의 섬유 차원은 최대 1이며, 이는 코드이먼스 경계를 증명하는 데 핵심적이다.
• G(r,L)의 체계적 이미지가 자연스러운 사상 θ: G(r,d) → U_X(r,d)에 의해 정확히 U_X(r,L)임을 보여, G(r,L)가 U_X(r,L)에 자연스러운 스킴 구조를 제공한다.
• (r,d) = 1 인 경우, 이 구성은 예상되는 전이 성질을 만족하는 잘 정의된 모듈리 공간을 얻으며, 비가역 곡선에 하나의 노드가 있는 경우에 대해 한 오랜 추측을 해결한다.