[논문 리뷰] Moment-angle complexes and polyhedral products for convex polytopes

Anton Ayzenberg, Victor Matveevich Buchstaber|arXiv (Cornell University)|2010. 10. 10.

Advanced Combinatorial Mathematics참고 문헌 15인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 임의의 볼록 다면체 $P$의 조합적 유형을 캡처하는 심플리시얼 복합체 $K_P$를 도입하여, 단순 다면체가 아닌 볼록 다면체로 순간각 복합체와 다면체 곱을 확장한다. 이는 순간각 공간 $\mathcal{Z}_P$ 가 $(D^2, S^1)^{K_P}$ 와 호모토피 동치임을 증명함으로써 모든 볼록 다면체에 대해 이중첨수 베텔리 수를 정의할 수 있게 한다. 주요 기여는 다면체 심플리시얼 복합체의 개념을 통해 디프-솜머빌리와 베이거-빌러라 관계를 일반화하는 새로운 조합적 부등식을 수립한 것이다.

ABSTRACT

Let P be a convex polytope not simple in general. In the focus of this paper lies a simplicial complex K_P which carries complete information about the combinatorial type of P. In the case when P is simple, K_P is the same as dP*, where P* is a polar dual polytope. Using the canonical embedding of a polytope P into nonnegative orthant, we introduce a moment-angle space Z_P for a polytope P. It is known, that in the case when P is simple the space Z_P is homeomorphic to the polyhedral product (D^2,S^1)^{K_P}. When P is not simple, we prove that the space Z_P is homotopically equivalent to the space (D^2,S^1)^{K_P}. This allows to introduce bigraded Betti numbers for any convex polytope. A Stanley-Reisner ring of a polytope P can be defined as a Stanley-Reisner ring of a simplicial complex K_P. All these considerations lead to a natural question: which simplicial complexes arise as K_P for some polytope P? We have proceeded in this direction by introducing a notion of a polytopic simplicial complex. It has the following property: link of each simplex in a polytopic complex is either contractible, or retractible to a subcomplex, homeomorphic to a sphere. The complex K_P is a polytopic simplicial complex for any polytope P. Links of so called face simplices in a polytopic complex are polytopic complexes as well. This fact is sufficient enough to connect face polynomial of a simplicial complex K_P to the face polynomial of a polytope P, giving a series of inequalities on certain combinatorial characteristics of P. Two of these inequalities are equalities for each P and represent Euler-Poincare formula and one of Bayer-Billera relations for flag f-numbers. In the case when P is simple all inequalities turn out to be classical Dehn-Sommerville relations.

연구 동기 및 목표

• 단순 다면체에서 일반 볼록 다면체로 순간각 복합체와 다면체 곱의 이론을 확장하는 것.
• 모든 볼록 다면체 $P$의 전체 조합적 구조를 캡처하는 심플리시얼 복합체 $K_P$ 를 정의하는 것, 특히 $P$ 가 단순하지 않은 경우에도 적용 가능하도록 하는 것.
• 임의의 볼록 다면체에 대해 순간각 공간 $\mathcal{Z}_P$ 가 $(D^2, S^1)^{K_P}$ 와 호모토피 동치임을 증명하는 것.
• 다면체 심플리시얼 복합체의 개념을 도입하고, 이를 통해 다면체의 면 수에 대한 새로운 조합적 부등식을 유도하는 것.
• f-벡터가 이를 구분하지 못할 때, $K_P$ 의 이중첨수 베텔리 수가 비동형 self-polar 다면체를 식별할 수 있음을 보여주는 것.

제안 방법

• 다면체 $P$ 를 그 면의 수 $m$ 에 대해 $\mathbb{R}_{\geq 0}^m$ 에 표준 포함함으로써, 순간각 사상의 역상으로서 순간각 공간 $\mathcal{Z}_P$ 를 정의하는 것.
• 다면체 $P$ 의 면들로 이루어진 커버의 뉴어로 $K_P$ 를 정의함으로써, 단순 다면체의 이중 경계 $\partial P^*$ 를 일반화하는 것.
• 심플리스의 링크가 수축 가능하거나 구와 호모토피 동치인 복합체인 다면체 심플리시얼 복합체의 개념을 도입하는 것.
• Hochster의 공식을 적용하여, 부분복합체 $F_\omega = \bigcup_{i \in \omega} \mathcal{F}_i$ 의 여타 코homology 를 통해 이중첨수 베텔리 수 $\beta^{-i,2j}(K_P)$ 를 계산하는 것.
• 다면체의 환과 이중매개변수 면 다항식을 사용하여 다면체의 면 수 간의 부등식을 도출하는 것.
• 베텔리 수의 스펙트럼 이중화 및 곱셈 성질을 활용하여 피라미드와 다면체의 곱에 대한 불변량을 계산하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 순간각 복합체와 다면체 곱은 어떻게 단순 다면체에서 일반 볼록 다면체로 일반화될 수 있는가?
• RQ2 볼록 다면체 $P$ 와 관련된 심플리시얼 복합체 $K_P$ 는 어떤 조합적 성질을 가지며, $P$ 의 면 구조를 어떻게 캡처하는가?
• RQ3 비단순 $P$ 에서 순간각 공간 $\mathcal{Z}_P$ 가 언제 $(D^2, S^1)^{K_P}$ 와 호모토피 동치가 되는가?
• RQ4 $K_P$ 와 그 링크의 구조에서 유도할 수 있는 새로운 조합적 부등식은 무엇이며, 디프-솜머빌리 또는 베이거-빌러라 관계와 어떻게 관련되는가?
• RQ5 f-벡터가 이를 분리하지 못할 때, $K_P$ 의 이중첨수 베텔리 수는 비동형 self-polar 다면체를 식별할 수 있는가?

주요 결과

• 모든 볼록 다면체 $P$ 에 대해 순간각 공간 $\mathcal{Z}_P$ 는 $(D^2, S^1)^{K_P}$ 와 호모토피 동치이며, 이는 이전에 단순 다면체에서만 알려진 결과를 일반화한 것이다.
• 심플리시얼 복합체 $K_P$ 는 다면체 심플리시얼 복합체이다. 즉, 그의 심플리스의 링크는 수축 가능하거나 구와 호모토피 동치이다.
• 복합체 $K_P$ 의 면 다항식은 다면체 $P$ 의 면 다항식과 연결되어 있으며, 이로부터 $P$ 의 면 수에 대한 조합적 부등식을 이끌어낸다.
• 만약 $P$ 가 단순이면, 이러한 부등식들은 고전적인 디프-솜머빌리 관계로 줄어들고, 플래그 다면체의 경우 베이거-빌러라 관계를 포함한다.
• 이중첨수 베텔리 수는 $f$-벡터보다 더 강력한 불변량이다: 동일한 $f$-벡터 $(7,12,7)$ 를 가진 비동형 self-polar 다면체 $P$ 와 $P^*$ 에서, $\beta^{-2,8}(P)=14$ 이고 $\beta^{-2,8}(P^*)=15$ 로 다를 수 있다.
• 피라미드 $\operatorname{pyr}Q$ 에서는 $j > 0$ 일 때 $\beta^{-i,2j}(\operatorname{pyr}Q) = \beta^{-i,2(j-1)}(Q)$ 를 만족하며, 피라미드 구성에 따라 이중첨수의 이동이 나타난다.