[논문 리뷰] Moments and convex optimization for analysis and control of nonlinear partial differential equations

Milan Korda, Didier Henrion외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 04. 20.

Advanced Optimization Algorithms Research참고 문헌 25인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 다항식 데이터를 가진 비선형 편미분방정식(PDE)의 분석 및 제어를 위한 볼록 최적화 프레임워크를 제안한다. 약한 측도 기반 임bedding을 사용하여 무한차원 선형계획법(LP)을 구성하고, 이를 계층적인 유한차원 준선형계획법(SDP)으로 근사한다. 이 방법은 PDE 해의 함수에 대한 엄밀한 경계를 제공하며, 공간-시간 격자화 없이 부분최적의 다항식 피드백 제어기를 계산할 수 있으며, 표준 가정 하에 수렴 보장이 있다.

ABSTRACT

This work presents a convex-optimization-based framework for analysis and control of nonlinear partial differential equations. The approach uses a particular weak embedding of the nonlinear PDE, resulting in a linear equation in the space of Borel measures. This equation is then used as a constraint of an infinite-dimensional linear programming problem (LP). This LP is then approximated by a hierarchy of convex, finite-dimensional, semidefinite programming problems (SDPs). In the case of analysis of uncontrolled PDEs, the solutions to these SDPs provide bounds on a specified, possibly nonlinear, functional of the solutions to the PDE; in the case of PDE control, the solutions to these SDPs provide bounds on the optimal value of a given optimal control problem as well as suboptimal feedback controllers. The entire approach is based purely on convex optimization and does not rely on spatio-temporal gridding, even though the PDE addressed can be fully nonlinear. The approach is applicable to a very broad class nonlinear PDEs with polynomial data. Computational complexity is analyzed and several complexity reduction procedures are described. Numerical examples demonstrate the approach.

연구 동기 및 목표

• 공간-시간 격자화에 의존하지 않고 비선형 PDE의 분석 및 제어를 위한 볼록 최적화 기반 프레임워크를 개발한다.
• 제어되지 않은 경우 PDE 해의 비선형 함수에 대한 엄밀한 경계를 제공한다.
• 제어된 PDE에 대해 부분최적의 다항식 피드백 제어기를 계산한다.
• 표준 가정 하에 무한차원 LP의 최적값으로 향하는 근사 계층의 수렴을 보장한다.
• 구조 활용 및 복잡도 감소 기법을 통해 계산 효율성을 향상시킨다.

제안 방법

• 해의 그래프에 지지되는 측도의 모멘트 수열을 사용하여 비선형 PDE를 Borel 측도의 무한차원 공간에 임베딩함으로써 측도 공간에서의 선형 방정식을 도출한다.
• 측도 방정식을 제약 조건으로 하고 사용자 정의 기능을 목표로 하는 무한차원 선형계획법(LP) 문제를 설정한다.
• Lasserre의 계층적 유한차원 볼록 준선형계획법(SDP) 완화를 사용하여 무한차원 LP를 근사한다.
• 공간적 또는 시간적 이산화 없이, 해의 그래프에 지지된 측도의 모멘트 수열을 사용한다.
• 스pars리티 활용 및 기저 적응과 같은 복잡도 감소 기법을 적용하여 확장성을 향상시킨다.
• 모멘트 매칭을 통해 SDP 해에서 다항식 피드백 제어기를 추출함으로써, PDE를 수치적으로 풀지 않고도 닫힌 루프 시뮬레이션을 가능하게 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 공간-시간 격자화에 의존하지 않고 비선형 PDE의 분석 및 제어를 위한 볼록 최적화 프레임워크를 개발할 수 있는가?
• RQ2 무한차원 LP 설정이 원래 PDE 문제의 진짜 최적값으로 수렴하는 조건은 무엇인가?
• RQ3 경계의 유효성과 제어기 품질을 유지하면서 계산 복잡도를 어떻게 줄일 수 있는가?
• RQ4 이 방법은 다항식 데이터를 가진 비선형 PDE의 해 함수에 대해 증명 가능한 유효한 경계와 부분최적 피드백 제어기를 제공할 수 있는가?
• RQ5 엔트로피 제약 조건 또는 약한-강한 유일성 결과는 측도 기반 LP와 원래 PDE 문제 간의 등가성을 확립하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 표준 가정 하에, 완화 정도가 증가함에 따라 SDP 완화 계층이 무한차원 LP의 최적값으로 단조롭게 수렴한다.
• Burgers의 방정식 예제에서, MOSEK를 사용해 약 1.2초 내에 3차 다항식 피드백 제어기를 계산하였고, 100점의 공간 격자에서 시간 단위당 평가에 1.5ms가 소요되었다.
• 닫힌 루프 시뮬레이션 결과, 제로로의 안정적 수렴이 관찰되어, 수치적으로 PDE를 풀지 않아도 계산된 제어기가 실용적으로 효과적임을 입증하였다.
• SDP 솔버의 수치 정밀도 수준까지, PDE의 역학적 복잡도에 관계없이 경계와 피드백 제어기가 유효하다.
• 모멘트 수가 고정된 이후, PDE의 역학 복잡도와 무관하게 방법의 계산 비용이 독립적이므로 고 레이놀즈 수 유동에 적합하다.
• 이 방법은 PDE 해 함수에 대한 엄밀한 경계를 제공함으로써 수치 해석기의 안정성 분석 및 검증을 가능하게 한다.