[논문 리뷰] Momentum maps and classical relativistic fields. Part 1: Covariant Field Theory

Mark J. Gotay, Jerrold E. Marsden외 1명|arXiv (Cornell University)|1997. 01. 01.

Cosmology and Gravitation Theories인용 수 116

한 줄 요약

이 논문은 다중심플렉틱 기하학을 사용하여 고전장 이론의 공변적 형식을 제안하며, 게이지 대칭에 대한 운동량 맵을 수립하여 제약 조건과 게이지 변환을 통합한다. 이는 시공간 공변 프레임워크에서 노터의 정리를 유도하며, 에너지-운동량 맵이 상대론적 장 이론에서 보존 법칙과 대칭성을 어떻게 캡처하는지 보여준다.

ABSTRACT

This is the first paper of a five part work in which we study the Lagrangian and Hamiltonian structure of classical field theories with constraints. Our goal is to explore some of the connections between initial value constraints and gauge transformations in such theories (either relativistic or not). To do this, in the course of these four papers, we develop and use a number of tools from symplectic and multisymplectic geometry. Of central importance in our analysis is the notion of the ``energy-momentum map'' associated to the gauge group of a given classical field theory. We hope to demonstrate that many different and apparently unrelated facets of field theories can be thereby tied together and understood in an essentially new way. In Part I we develop some of the basic theory of classical fields from a spacetime covariant viewpoint. We begin with a study of the covariant Lagrangian and Hamiltonian formalisms, on jet bundles and multisymplectic manifolds, respectively. Then we discuss symmetries, conservation laws, and Noether's theorem in terms of ``covariant momentum maps.''

연구 동기 및 목표

• 제트 번들의 다중심플렉틱 다양체를 사용하여 시공간 공변 라그랑주 및 해밀토니안 형식을 개발하는 것.
• 제약 조건이 있는 장 이론에서 초기 조건 제약 조건과 게이지 변환 간의 관계를 명확히 하는 것.
• 상대론적 장 이론에서 대칭성과 보존 법칙을 이해하는 데 중심적인 도구로 에너지-운동량 맵을 도입하는 것.
• 게이지 자유도, 제약 조건, 보존 법칙이라는 장 이론의 상이해 보이던 측면들을 기하적 구조를 통해 통합하는 것.
• 심플렉틱 및 다중심플렉틱 기하학 도구를 활용하여 고전 장 이론의 더 깊은 기하적 이해를 위한 기초를 마련하는 것.

제안 방법

• 제트 번들과 다중심플렉틱 다양체 위에서 공변 라그랑주 및 해밀토니안 구조를 형식화하는 것.
• 장 이론의 위상공간에 작용하는 게이지 군에 대한 운동량 맵을 정의하는 것.
• 다중심플렉틱 설정에서 노터의 정리를 적용하여 시공간 대칭성으로부터 보존 법칙을 도출하는 것.
• 에너지-운동량 맵을 사용하여 파oincaré 대칭과 내부 게이지 대칭에 관련된 보존 양을 특성화하는 것.
• 다중심플렉틱 형식의 풀백을 통해 제약 조건을 분석하고, 게이지 불변성과의 관계를 규명하는 것.
• 공변 시공간 프레임워크에서 대칭성, 보존 법칙, 운동량 맵 간의 기하적 대응을 수립하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 운동량 맵 형식은 어떻게 시공간 공변적으로 고전 장 이론에 확장될 수 있는가?
• RQ2 상대론적 장 이론에서 初기 조건 제약 조건과 게이지 변환 간의 기하적 관계는 무엇인가?
• RQ3 다중심플렉틱 프레임워크에서 장 이론의 보존 법칙은 대칭성으로부터 어떻게 유도되는가?
• RQ4 에너지-운동량 맵은 장 이론에서 대칭성과 보존 양의 기술을 어떻게 통합하는가?
• RQ5 운동량 맵 같은 기하 도구를 사용하여 게이지 대칭성과 제약 조건 간의 상호작용을 체계적으로 분석할 수 있는가?

주요 결과

• 게이지 군에 대한 운동량 맵은 고전 장 이론에서 보존 양의 통합적 기하적 기술을 제공한다.
• 노터의 정리는 다중심플렉틱 설정에서 재구성되어 시공간 대칭성이 직접적으로 보존 법칙과 연결된다.
• 에너지-운동량 맵은 파oincaré 대칭과 내부 게이지 대칭을 모두 포괄하며, 그 공통된 기하적 기원을 드러낸다.
• 초기 조건 형식에서의 제약 조건은 운동량 맵의 핵심에 내재되어 있음이 입증된다.
• 제트 번들과 다중심플렉틱 다양체 위의 공변 형식은 게이지 자유도가 있는 장 이론에 대해 일관된 처리를 가능하게 한다.
• 이 프레임워크는 보존 법칙과 게이지 불변성이 모두 동일한 기하적 구조—운동량 맵—에서 유래됨을 드러낸다.