[논문 리뷰] Monge-Kantorovich distance for PDEs: the coupling method

Nicolas Fournier, Benoı̂t Perthame|arXiv (Cornell University)|2019. 03. 27.

Geometric Analysis and Curvature Flows참고 문헌 25인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 열, 포커-플랭크, 분수형 열, 볼츠만 방정식을 포함한 다양한 PDE의 해들 사이의 이동 거리 분석을 위한 PDE 기반 결합 방법을 제안한다. 두 해 u₁과 u₂에 대해 R²d 상의 결합 PDE를 구성함으로써, 몽헤-칸토로비치 이동 비용이 시간에 따라 감소함을 증명하고, 적절한 비용 함수 하에서 이러한 방정식들이 비확장 성질을 갖는다는 것을 확립한다.

ABSTRACT

We informally review a few PDEs for which the Monge-Kantorovich distance between pairs of solutions, possibly with some judicious cost function, decays: heat equation, Fokker-Planck equation, heat equation with varying coefficients, fractional heat equation with varying coefficients, homogeneous Boltzmann equation for Maxwell molecules, and some nonlinear integro-differential equations arising in neurosciences. We always use the same method, that consists in building a coupling between two solutions. This amounts to solve a well-chosen PDE posed on the Euclidian square of the physical space, i.e. doubling the variables. Finally, although the above method fails, we recall a simple idea to treat the case of the porous media equation. We also introduce another method based on the dual Monge-Kantorovich problem.

연구 동기 및 목표

• 진동 PDE의 해들 사이의 이동 거리 감소를 분석하기 위한 체계적인 PDE 기반 결합 방법을 개발하는 것.
• 선형 및 비선형 방정식을 포함한 다양한 PDE들에 걸쳐 이동 비용의 비확장 성질 분석을 통합하는 것.
• 확률적 결합 방법을 확률 과정을 회피하면서도 핵심 수축 추정을 유지하는 결정론적 PDE 프레임워크로 확장하는 것.
• 기본 결합 방법이 실패하는 경우, 예를 들어 다공성 매체 방정식의 경우를 다루기 위해 이중성 및 이산화와 같은 대체 접근법을 도입하는 것.
• 기존의 확률적 및 변분적 방법을 보완하는, 오직 PDE에만 기반한 수축 결과의 엄밀한 유도를 제공하는 것.

제안 방법

• 두 해 u₁과 u₂에 대해 R²d 상의 결합 PDE를 구성하여, 두 시간 연속 과정의 공동 분포 v(x, y, t)를 모델링한다.
• v(x, y, t)의 주변분포가 원래 PDE를 만족하고, v가 대각선 x = y 근처에 집중되어 있음을 보장함으로써 해들의 유사성을 나타낸다.
• 해들 사이의 거리를 측정하기 위해 이동 비용 Tϱ(u₁(t), u₂(t)) = ∫∫ ϱ(x, y)v(x, y, t) dx dy 를 사용한다.
• 비용 함수 ϱ에 대한 적절한 조건 하에서 d/dt ∫∫ ϱ(x, y)v(x, y, t) dx dy ≤ 0 를 증명함으로써 Tϱ의 감소를 보인다.
• 변수 계수, 분수 라플라스 연산자, 운동학적 산란을 포함한 방정식에 대해 적절한 비용 함수를 구성함으로써 이 방법을 적용한다.
• 다공성 매체 방정식의 경우 결합 방법이 실패하므로, 이중 형식과 변수 변환을 사용하여 비확장 성질을 복구한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 확률 과정에 의존하지 않고, 결정론적 PDE 기반 결합 방법을 사용하여 PDE의 몽헤-칸토로비치 이동 비용이 비확장됨을 증명할 수 있는가?
• RQ2 열 방정식이나 포커-플랭크 방정식의 해들에 대해 Tϱ(u₁(t), u₂(t))가 시간에 따라 감소하지 않는 조건은 비용 함수 ϱ에 어떤 조건을 요구하는가?
• RQ3 변수 계수, 분수 연산자, 또는 점프 과정을 포함한 PDE에 대해 이 결합 방법은 어떻게 적응시킬 수 있는가?
• RQ4 기본 결합 방법이 다공성 매체 방정식에서 실패하는 이유는 무엇이며, 어떤 대체 접근법이 이동 비용의 비확장 성질을 복구하는가?
• RQ5 직접 결합이 실패하는 PDE에 대해 이중 형식의 이동 비용을 사용하여 수축을 증명할 수 있는가?

주요 결과

• 부드러운 비용 함수 ϱ(x, y) = r(|x−y|)를 갖는 열 방정식의 경우, 몽헤-칸토로비치 거리 Tϱ는 시간에 대해 비확장적이며, d/dt Tϱ ≤ 0 이다.
• 포커-플랭크 방정식의 경우, 적절한 조건 하에서 결합 방법을 통해 T₁(u₁(t), u₂(t))가 감소하지 않음을 증명한다.
• 변수 계수를 갖는 열 방정식 ∂ₜu − Δ(a(x)u) = 0 에서는 ϱ가 특정 타원형 PDE 조건을 만족할 경우 Tϱ가 비확장적임을 보인다.
• 변수 계수를 갖는 분수형 열 방정식의 경우, 적절한 비용 함수를 통해 이 방법을 확장하여 Tϱ의 감소를 보장한다.
• 맥클라우드 분자로 구성된 동질적 볼츠만 방정식의 경우, 매개변수화된 충돌 모델을 사용하여 결합 방법을 통해 T₁(u₁(t), u₂(t))가 감소하지 않음을 증명한다.
• 다공성 매체 방정식의 경우 결합 방법이 실패하지만, 이중 형식과 변수 변환을 통해 T₂(u₁(t), u₂(t))가 감소하지 않음을 보이며, 기능수 I(t) = T₂(u₁(t), u₂(t)) 에 대해 I′(t) ≤ 0 임을 증명한다.