[논문 리뷰] Monoidal bicategories, differential linear logic, and analytic functors

Harington, Eliès, Mimram, Samuel|arXiv (Cornell University)|2024. 05. 09.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 선형 지수 편더모드와 코더릴렉션 구조를 갖춘 모나드 이중범주를 개발하여 미분 선형 논리에 대한 이중범주적 프레임워크를 제안한다. 조이알의 해석적 함자 계산법을 준사상 범주 간의 함자로 확장하며, 프로파일러와 범주적 대칭 수열을 통해 단변수에서 다변수 미분 계산으로 일반화한다. 이중범주적 설정에서 라이프니츠 법칙과 연쇄법칙의 명시적 검증을 수행한다.

ABSTRACT

The notion of categorical model of linear logic is now well studied and established around the notion of linear-non-linear adjunction, which encompasses the earlier notions of Seely categories, Lafont categories and linear categories. These categorical structures have counterparts in the realm of ∞-categories, which can thus be thought of as weak forms of models of linear logic. The goal of this article is to formally introduce them and study their relationships. We show that ∞-linear-non-linear adjunctions still play the role of a unifying notion of model in this setting. Moreover, we provide a sufficient condition for a symmetric monoidal ∞-category to be Lafont. Finally, we illustrate our constructions by providing models: we construct linear-non-linear adjunctions that generalize well-known models in relations (and variants based on profunctors or spans), domains and vector spaces. In particular, we introduce a model based on spectra, a homotopical variant of abelian groups.

연구 동기 및 목표

• 미분 선형 논리에 대한 선형 지수 코모나드와 코더릴렉션의 이중범주적 대응체를 개발하기 위해.
• 집합(Set)에서의 조이알의 해석적 함자 이론을 준사상 범주 간의 함자로 일반화하기 위해.
• 범주적 대칭 수열의 맥락에서 미분 계산의 기본 법칙—예를 들어 라이프니츠 법칙과 연쇄법칙—이 성립함을 확립하기 위해.
• 2-범주적 설정에서 선형 논리와 미분 선형 논리의 모델을 위한 통합된 프레임워크를 제공하기 위해.
• 프로파일러 위의 편모나드의 클레스키 이중범주가 카르테시안 닫힘임을 보이고, 선형 논리의 정량적 의미론을 잘 지원함을 보여주기 위해.

제안 방법

• 모나드 이중범주에서 편모나드와 편바이알제브라를 도입하여 선형 지수 구조를 모델링한다.
• 미분 계산과 유사한 공리를 만족하는 자연 변환 $\bar{d}_A : A \to !A$를 통해 코더릴렉션 변환을 정의한다.
• 프로파일러를 이중범주 $\mathbf{Prof}$의 사상으로 사용하며, $!A$는 $A$ 위의 자유로운 대칭 강한 모나드 범주를 의미하여 비선형 사상 모델링.
• 범주적 대칭 수열 $F : A \to B$의 도함수를 프로파일러 $dF : A \times !A \to B$로 구성하며, $dF(b, (a, \alpha)) = F(b, \alpha \setminus \{a\})$로 정의한다.
• 이중범주 $\mathbf{Prof}$의 컴팩트 닫힘 구조의 내부 함자 구조를 적용하여 도함수를 클레스키 이중범주의 사상으로 해석한다.
• 코더릴렉션의 공리가 이중범주적 설정에서 표준적인 미분 계산 법칙—예를 들어 라이프니츠 법칙과 연쇄법칙—을 유도함을 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 선형 지수 코모나드 이론은 모나드 범주에서 모나드 이중범주로 어떻게 확장될 수 있는가?
• RQ2 코더릴렉션 변환의 이중범주적 대응체는 무엇이며, 2-범주적 설정에서 어떻게 미분 계산을 지원하는가?
• RQ3 프로파일러와 대칭 수열을 사용하여 조이알의 해석적 함자 이론을 준사상 범주 간의 함자로 일반화할 수 있는가?
• RQ4 기본적인 미분 계산 법칙—라이프니츠 법칙과 연쇄법칙—은 이 이중범주적 프레임워크에서 성립하는가?
• RQ5 프로파일러 위의 편모나드의 클레스키 이중범주는 카르테시안 닫힘인가? 그리고 이는 선형 논리의 정량적 의미론을 어떻게 지원하는가?

주요 결과

• 이중범주 $\mathbf{Prof}$의 편모나드 $!$는 선형 지수 편모나드의 공리를 만족하여 선형 논리의 이중범주적 모델을 가능하게 한다.
• 관련 맥락에서 코더릴렉션 변환 $\bar{d}_A : A \to !A$는 역행렬을 갖는 것으로 밝혀져, 그 구조적 일관성이 미분 구조와 부합함을 확인한다.
• 범주적 대칭 수열 $F : A \to B$의 도함수는 명시적으로 $dF(b, (a, \alpha)) = F(b, \alpha \setminus \{a\})$로 주어지며, 조이알의 도함수 공식을 일반화한다.
• 해당 분석 함자 $F_X(b) = \int_{\alpha \in !A} F(b, \alpha) \times X^\alpha$는 이중범주적 설정에서 라이프니츠 법칙과 연쇄법칙을 만족한다.
• 클레스키 이중범주 $\mathbf{CatSym} = \mathbf{Prof}^!$는 카르테시안 닫힘이며, 곱은 이중합성으로 주어지고 지수는 $A \multimap B = !A^{\mathrm{op}} \times B$로 주어지며, [FGHW08]의 결과를 일반화한다.
• 이중범주 $\mathbf{Prof}$에서 코더릴렉션의 공리들은 준사상 범주 간의 해석적 함자에 대해 고전적 미분 계산 법칙의 대응체—예를 들어 연쇄법칙과 라이프니츠 법칙—을 유도한다.