[논문 리뷰] Monoidal categories and the Gerstenhaber bracket in Hochschild cohomology

Reiner Hermann|2014. 03. 14.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 96인용 수 15

한 줄 요약

이 논문은 S. Schwede의 Hochschild 코hom로지에서 Gerstenhaber 괄호의 정확한 수열 해석을 정확한 카테고리와 모노이드 카테고리로 확장한다. Quillen의 군oids 구축을 통해 확장 카테고리의 호모토피 군과 Ext군 간의 동형사상을 명시적으로 기술함으로써, 핵심 기여는 Gerstenhaber 괄호가 Morita 동치에 대해 불변임을 증명하고, quasi-triangular bialgebra에 대해 중요한 부분의 커널을 계산하여 L. Menichi의 추측을 확인하는 데 있다.

ABSTRACT

In this monograph, we extend S. Schwede's exact sequence interpretation of the Gerstenhaber bracket in Hochschild cohomology to certain exact and monoidal categories. Therefore we establish an explicit description of an isomorphism by A. Neeman and V. Retakh, which links $\mathrm{Ext}$-groups with fundamental groups of categories of extensions and relies on expressing the fundamental group of a (small) category by means of the associated Quillen groupoid. As a main result, we show that our construction behaves well with respect to structure preserving functors between exact monoidal categories. We use our main result to conclude, that both the Lie bracket and the squaring map in Hochschild cohomology are invariants under Morita equivalence. For quasi-triangular bialgebras, we further determine a significant part of the Lie bracket's kernel, and thereby prove a conjecture by L. Menichi. Along the way, we introduce $n$-extension closed and entirely extension closed subcategories of abelian categories, and study some of their properties.

연구 동기 및 목표

• Schwede의 Gerstenhaber 괄호에 대한 정확한 수열 해석을 정확한 카테고리와 모노이드 카테고리로 일반화하는 것.
• Ext군과 확장 카테고리의 기본군을 연결하는 Retakh 동형사상의 명시적 기술 제공.
• 형태를 유지하는 함자들을 통한 모노이드 카테고리 설정에서 Gerstenhaber 괄호가 Morita 동치에 대해 불변임을 확립하는 것.
• quasi-triangular bialgebra에 대해 Gerstenhaber 괄호의 중요한 부분의 커널을 결정하여 L. Menichi의 추측을 검증하는 것.
• 아벨 카테고리에서 n-확장 닫힘 및 완전히 확장 닫힘 부분카테고리의 도입과 연구

제안 방법

• 소형 카테고리의 기본군을 확장 카테고리의 호모토피 유형으로 표현하기 위해 Quillen의 군oids 구축을 사용한다.
• Ext군과 확장 카테고리의 호모토피 군 간의 Retakh 동형사상을 활용하여 명시적인 대수적 기술을 제공한다.
• Yoneda 곱을 적용하고 유도된 카테고리 프레임워크를 통해 Hochschild 코호몰로지 위에 리 괄호를 정의한다.
• 모노이드 카테고리 가정 하에 브라켓 구조를 유지하는 확장 카테고리 간의 모노이드 함자를 구성한다.
• 확장의 복합에 대한 안정성을 분석하기 위해 n-확장 닫힘 및 완전히 확장 닫힘 부분카테고리의 개념을 도입한다.
• biallygebra 위의 이중모듈러 카테고리의 모노이드 구조를 사용하여 텐서곱과 호환되는 방식으로 브라켓을 정의한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Schwede의 Gerstenhaber 괄호에 대한 정확한 수열 해석은 어떻게 정확한 카테고리와 모노이드 카테고리로 일반화될 수 있는가?
• RQ2 이 맥락에서 Ext군과 확장 카테고리의 호모토피 군 간의 Retakh 동형사상의 명시적 형태는 무엇인가?
• RQ3 모노이드 카테고리 설정에서 Hochschild 코호몰로지의 Gerstenhaber 괄호는 Morita 동치에 대해 불변하는가?
• RQ4 quasi-triangular bialgebra에 대해 Gerstenhaber 괄호의 커널은 무엇이며, L. Menichi의 추측과 일치하는가?
• RQ5 n-확장 닫힘 및 완전히 확장 닫힘 부분카테고리는 확장 카테고리의 구조와 그 호모토피 군에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• Retakh 동형사상을 통한 Gerstenhaber 괄호의 구성은 정확한 모노이드 카테고리 간의 구조를 유지하는 함자들과 호환된다.
• Hochschild 코호몰로지 위의 등급 리 괄호는 Morita 동치에 대해 불변이며, 모듈의 경우에 대한 결과를 일반화한다.
• quasi-triangular bialgebra의 경우, Gerstenhaber 괄호의 중요한 부분의 커널이 명시적으로 결정되었으며, L. Menichi의 추측을 확인한다.
• biallygebra 위의 이중모듈러 카테고리는 Gerstenhaber 괄호에 대해 적절한 브라켓을 유도하는 모노이드 구조를 갖는다.
• n-확장 닫힘 및 완전히 확장 닫힘 부분카테고리의 도입은 아벨 카테고리에서의 고차 확장 닫힘을 분석하는 프레임워크를 제공한다.
• Yoneda 곱과 브라켓 구성이 이중모듈러 카테고리의 모노이드 구조와 호환되며, 코호몰로지 위에 일관된 리 대수 구조를 유도한다.