[논문 리뷰] Mordell-Weil Torsion, Anomalies, and Phase Transitions

Mboyo Esole, Monica Jinwoo Kang외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 12. 06.

Black Holes and Theoretical Physics참고 문헌 20인용 수 17

한 줄 요약

이 논문은 M-theory에서 타원적으로 섬유화된 칼라비-ยอ우 3차원 다양체에 대한 compactification에서 Mordell-Weil torsion 군이 5차원 N=1 게이지 이론의 쿨롱 상호작용 구조와 물질(content)에 미치는 영향을 조사한다. 올림프, 호지 수, 삼중 교차 수와 같은 위상적 불변량을 계산함으로써, 저자들은 곡선과 분할 다각형의 교차를 통해 기하학적으로 물질 표현과 그 다중도를 결정한다. 핵심 결과는 6차원 상향으로 올린 경우의 이상성 보존 조건을 통해 히퍼멀티플릿 표현과 그 수를 완전히 규명한 것으로, 특히 이异常 다항식에서 곡률 형식의 네 제곱이 0이 되는 조건이 핵심 제약 조건이 된다.

ABSTRACT

We explore how introducing a non-trivial Mordell-Weil group changes the structure of the Coulomb phases of a five-dimensional gauge theory from an M-theory compactified on an elliptically fibered Calabi-Yau threefolds with a I$_2$+I$_4$ collision of singularities. The resulting gauge theory has a semi-simple Lie algebra $\mathfrak{su}(2)\oplus \mathfrak{sp}(4)$ or $\mathfrak{su}(2)\oplus \mathfrak{su}(4)$. We compute topological invariants relevant for the physics, such as the Euler characteristic, Hodge numbers, and triple intersection numbers. We determine the matter representation geometrically by computing weights via intersection of curves and fibral divisors. We fix the number of charged hypermultiplets transforming in each representations by comparing the triple intersection numbers and the one-loop prepotential. This condition is enough to fix the number of representation when the Mordell-Weil group is $\mathbb{Z}_2$ but not when it is trivial. The vanishing of the fourth power of the curvature forms in the anomaly polynomial is enough to fix the number of representations. We discuss anomaly cancellations of the six-dimensional uplifted. In particular, the gravitational anomaly is also considered as the Hodge numbers are computed explicitly without counting the degrees of freedom of the Weierstrass equation.

연구 동기 및 목표

• M-theory에서 타원적으로 섬유화된 칼라비-요우 3차원 다양체에 대한 compactification으로 유도된 5차원 N=1 게이지 이론의 쿨롱 상호작용 구조에 비자명한 Mordell-Weil 군이 어떻게 영향을 미치는지 이해하는 것.
• 해결된 칼라비-요우 기하학에 대해 유클리드 특성, 호지 수, 삼중 교차 수와 같은 필수 위상적 불변량을 계산하는 것.
• I2+I4 특이성 충돌의 맥락에서 곡선과 섬유 다각형의 교차를 통해 기하학적으로 물질 표현과 그 다중도를 결정하는 것.
• 6차원 상향으로 올린 이론에서 1-loop 전위함수와 이상성 보존 조건을 사용하여 각 표현에 대해 히퍼멀티플릿의 수를 고정하는 것.
• 이상성 다항식의 직접 계산을 통해 6차원 (1,0) 초중력 이론에서 중력 및 게이지 이상성의 완전한 보존을 검증하는 것.

제안 방법

• 저자들은 타원적으로 섬유화된 칼라비-요우 3차원 다양체의 Weierstrass 모형과 캐프런트 해소를 사용하여, 게이지 대수 su(2)⊕sp(4) 또는 su(2)⊕su(4)를 갖는 5차원 N=1 게이지 이론을 구성한다.
• 특정 특이점의 해소와 해소된 3차원 다양체 위에서의 교차 이론을 통해 유클리드 특성과 호지 수와 같은 위상적 불변량을 계산한다.
• 유리 곡선과 섬유 다각형 간의 교차 수를 계산하여 물질 표현을 기하학적으로 결정하며, 대수적 기하학을 통해 무게를 식별한다.
• 5차원 이론의 1-loop 전위함수와 삼중 교차 다항식을 일치시킴으로써 각 표현에 대한 히퍼멀티플릿의 수를 고정한다.
• 이상성 보존 조건을 통해 6차원 상향으로 올린 이론에서 이상성 다항식을 계산하고, 표현 수가 일관되게 설정되었을 때 모든 항, 특히 중력 및 게이지 이상성 항이 0이 되는 것을 보여줌으로써 이상성 보존을 검증한다.
• Mordell-Weil 군이 자명할 경우 이상성 다항식에서 곡률 형식의 네 제곱이 0이 되는 조건이 표현의 다중도를 고정하는 데 핵심 제약 조건으로 사용된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비자명한 Mordell-Weil 군 Z2의 존재가 M-theory compactification으로부터 유도된 5차원 N=1 게이지 이론의 쿨롱 상호작용 구조에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ2 곡선과 섬유 다각형의 교차를 통해 도출된 게이지 이론의 물질 표현 내용을 정확히 기하학적으로 결정하는 방법은 무엇인가?
• RQ3 1-loop 전위함수와 삼중 교차 수를 사용하여 각 표현에 대한 히퍼멀티플릿의 수를 어떻게 고정할 수 있는가?
• RQ4 Mordell-Weil 군이 자명할 경우 이상성 다항식에서 곡률 형식의 네 제곱이 0이 되는 것이 표현의 다중도를 결정하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 Mordell-Weil 군이 자명할 경우 6차원 상향에서 이상성 보존이 얼마나 정확히 물질 스펙트럼을 고정하는 데 사용될 수 있는가?

주요 결과

• 삼중 교차 다항식을 전위함수와 일치시킴으로써 (1,15) 표현에 대해 n1,15 = 1/2(−LT + T² + 2)로, (1,6) 표현에 대해 n1,6 = LT로 히퍼멀티플릿의 수가 고정된다.
• (2,1) 표현의 다중도는 n2,1 = 2S(4L − S − 2T)로 결정되며, 이는 특정 계수 조건 하에서 곡선 Cs1가 Cs1+와 Cs1−로 분할될 때 유도된다.
• (2,4) 및 (2,4̄) 표현의 다중도는 대칭성과 교차 제약 조건을 사용하여 n2,4 = n2,4̄ = 1/2 ST로 고정된다.
• Mordell-Weil 군이 자명할 경우 이상성 다항식에서 곡률 형식의 네 제곱이 0이 되는 조건이 표현의 다중도를 유일하게 고정하며, 특히 (1,15) 및 (1,6) 표현에 대해 그렇다.
• 6차원 이상성 다항식이 완전한 제곱임을 보여주며, I8 = 1/8 (K trR² + 4S tr² F²₁ + 4T tr⁴ F²₂)²로 표현되어, 중력 이상성까지 포함한 모든 이상성이 완전히 상쇄됨을 확인한다.
• 도수 계수를 사용하지 않고도 호지 수와 유클리드 특성을 직접 계산함으로써, Weierstrass 방정식의 차수 계수에 의존하지 않는 칼라비-요우 조건의 기하학적 유도가 이루어지며, L = −K로 표현된다.