[논문 리뷰] More Solvable $2D$ Quantum Models from Lattice Gauge Theories

Pramod Padmanabhan, J. P. Ibieta Jimenez외 2명|arXiv (Cornell University)|2014. 08. 11.

Cold Atom Physics and Bose-Einstein Condensates인용 수 2

한 줄 요약

이 논문은 라티스 게이지 이론의 전이 행렬을 중심 매개변수로 수정하여 정확히 해석 가능한 2차원 양자 모델의 새로운 클래스를 도입한다. 이 모델들은 위상적 순서를 유지하며, 양자 이중체 및 왜곡된 양자 이중체 위상으로 일반화되며, 변형된 대수와 잘 정의된 anyonic 초입자를 포함한다. 이는 $\mathbb{Z}_n$ 및 $S_3$ 군에 대해 입증되었다.

ABSTRACT

Quantum double models, such as the toric code, can be constructed from transfer matrices of lattice gauge theories with discrete gauge groups and parametrized by the center of the gauge group algebra and its dual. For general choices of these parameters the transfer matrix contains operators acting on links which can also be thought of as perturbations to the quantum double model driving it out of its topological phase and destroying the exact solvability of the quantum double model. We modify these transfer matrices with perturbations and extract exactly solvable models which remain in a quantum phase, thus nullifying the effect of the perturbation. The algebra of the modified vertex and plaquette operators now obey a deformed version of the quantum double algebra. The Abelian cases are shown to be in the quantum double phase whereas the non-Abelian phases are shown to be in a modified phase of the corresponding quantum double phase. These are illustrated with the groups $\mathbb{Z}_n$ and $S_3$. The quantum phases are determined by studying the excitations of these systems namely their fusion rules and the statistics. We then go further to construct a transfer matrix which contains the other $\mathbb{Z}_2$ phase namely the double semion phase. More generally for other discrete groups these transfer matrices contain the twisted quantum double models. These transfer matrices can be thought of as being obtained by introducing extra parameters into the transfer matrix of lattice gauge theories. These parameters are central elements belonging to the tensor products of the algebra and its dual and are associated to vertices and volumes of the three dimensional lattice. As in the case of the lattice gauge theories we construct the operators creating the excitations in this case and study their braiding and fusion properties.

연구 동기 및 목표

• 라티스 게이지 이론의 전이 행렬을 수정하여 표준 양자 이중체 모델을 초월하는 정확히 해석 가능한 2차원 양자 모델의 범주를 확장하기 위해.
• 기존에는 위상적 위상이 파괴될 수 있는 변형에도 불구하고 위상적 순서와 정확한 해석 가능성을 유지하기 위해.
• 전이 행렬의 중심 매개변수를 통해 양자 이중체 구성법을 왜곡된 양자 이중체 모델 및 기타 위상으로 일반화하기 위해.
• anyonic 초입자의 융합 및 끈적성 성질을 통해 유도된 양자 위상을 특성화하기 위해.
• 군론적 매개변수를 사용하여 변형된 양자 이중체 대수를 갖는 모델을 체계적으로 구성하는 프레임워크를 제공하기 위해.

제안 방법

• 3차원 라티스의 꼭짓점과 부피에 관련된 군 대수와 그 쌍대 대수의 중심 원소를 도입하여 라티스 게이지 이론의 전이 행렬을 수정한다.
• 변형된 양자 이중체 대수를 만족하는 변형된 정점 및 플라켓 연산자를 구성하여 정확한 해석 가능성을 유지한다.
• 특히 군 대수의 중심과 그 쌍대에서 유래한 군론적 매개변수를 사용하여 전이 행렬의 변형을 정의한다.
• $\mathbb{Z}_n$ 및 $S_3$의 경우 유도된 해밀토니안을 분석하여 아벨 및 비아벨 anyonic 통계를 포함한 양자 위상을 식별한다.
• anyonic 초입자를 생성하고 결합시키는 연산자를 유도하고, 변형된 대수적 구조를 사용하여 융합 규칙과 끈적성 통계를 계산한다.
• 중심 매개변수를 조절하여 더블 세미온 위상 및 기타 왜곡된 양자 이중체 모델을 포함하도록 구성법을 일반화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 정확한 해석 가능성이나 위상적 순서를 손상시키지 않고 양자 이중체 모델에 대한 변형을 체계적으로 도입할 수 있는 방법은 무엇인가?
• RQ2 변형된 정점 및 플라켓 연산자에서 나타나는 대수적 구조는 무엇이며, 표준 양자 이중체 대수와 어떻게 다를까?
• RQ3 라티스 게이지 이론의 매개변수화된 전이 행렬을 통해 표준 양자 이중체 위상 외의 어떤 양자 위상을 실현할 수 있는가?
• RQ4 새로운 모델에서 anyonic 초입자는 융합 규칙과 위상 통계 측면에서 어떻게 행동하는가?
• RQ5 더블 세미온 위상과 기타 왜곡된 양자 이중체 모델은 전이 행렬의 중심 매개변수를 사용한 통합 프레임워크에서 유도될 수 있는가?

주요 결과

• 중심 원소를 군 대수와 그 쌍대에 포함시켜 전이 행렬을 변형함으로써, 변형에도 불구하고 여전히 위상적 위상에 머무르는 정확히 해석 가능한 2차원 양자 모델을 도출할 수 있다.
• 정점 및 플라켓 연산자는 변형된 양자 이중체 대수를 만족하며, 이는 표준 anyonic 교환 관계를 일반화한다.
• 아벨 군인 $\mathbb{Z}_n$의 경우, 결과 모델은 표준 양자 이중체 위상에 있으며, 아벨 anyon과 아벨 통계를 가진다.
• 비아벨 군인 $S_3$의 경우, 표준 양자 이중체와는 다름없는 수정된 위상이 실현되며, 비아贝尔 융합 규칙과 통계를 가진다.
• 더블 세미온 위상은 일반화된 전이 행렬 프레임워크의 특수한 경우로 성공적으로 구성되었으며, 이는 그가 더 넓은 모델 범주에 포함됨을 확인한다.
• 모든 anyonic 초입자, 특히 융합 및 끈적성 성질이 모두 체계적으로 유도되었으며, 변형된 대수적 구조와 일관됨을 보였다.