[논문 리뷰] Morse theory and geodesics in the space of Kähler metrics

Tamás Darvas|arXiv (Cornell University)|2012. 07. 18.

Geometry and complex manifolds참고 문헌 7인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 $C^3$ 켈러 메트릭 공간 내의 지오데식선의 초기 접선 벡터의 임계점과 경계 데이터 사이의 모어 이론적 연결을 수립한다. 복소 몽에-암페르 방정식 분석과 변형 기법을 사용하여, 매끄러운 지오데식선이 항상 임의의 켈러 포텐셜을 연결할 수 없음을 증명한다. 특히 만일 다양체가 $\mathbb{C}P^1$가 아니면 그러한 연결이 불가능한 쌍은 $C^\infty$ 위상에서 비어 있지 않은 열린 집합을 이룬다.

ABSTRACT

Given a compact Kähler manifold $(X,ω_0)$ let $\mathcal H_{0}$ be the set of Kähler forms cohomologous to $ω_0$. As observed by Mabuchi \cite{m}, this space has the structure of an infinite dimensional Riemannian manifold, if one identifies it with a totally geodesic subspace of $\mathcal H$, the set of Kähler potentials of $ω_0$. Following Donaldson's research program, existence and regularity of geodesics in this space is of fundamental interest. In this paper, supposing enough regularity of a geodesic $u:[0,1] o \mathcal H$, connecting $u_0 \in \mathcal H$ with $u_1 \in \mathcal H$, we establish a Morse theoretic result relating the critical points of $u_1-u_0$ to the critical points of $\dot u_0 = du/dt|_{t=0}$. As an application of this result, we prove that on all Kähler manifolds, connecting Kähler potentials with smooth geodesics is not possible in general. In particular, in the case $X eq \Bbb C P^1$, we will also prove that the set of pairs of potentials that can not be connected with smooth geodesics has nonempty interior. This is an improvement upon the findings of \cite{lv} and \cite{dl}.

연구 동기 및 목표

• 켈러 메트릭 공간 내 $C^3$ 지오데식선의 초기 속도 $\dot{u}_0$의 임계점과 경계 차분 $u_1 - u_0$ 사이의 모어 이론적 관계를 수립하는 것.
• 켈러 포텐셜의 무한차원 공간 $\mathcal{H}$ 내에서 지오데식선의 존재성과 정칙성을 조사하며, 특히 $C^3$ 정칙성 조건을 가정하는 것.
• 일반적으로 매끄러운 지오데식선이 모든 켈러 포텐셜 쌍을 연결할 수 없음을 보여주는 것. 이는 이전의 존재하지 않음 결과를 확장하는 것이다.
• 만일 $X \neq \mathbb{C}P^1$이면, 매끄러운 지오데식선으로 연결되지 않는 포텐셜 쌍의 집합이 $C^\infty(X) \times C^\infty(X)$ 내에서 비어 있지 않은 내부를 가짐을 보여주는 것.

제안 방법

• 초기 접선 벡터 $\dot{u}_0$의 임계점에서 몽에-암페르 분할의 일阶 변동을 분석하여, $\dot{u}_0$의 임계점과 $u_1 - u_0$의 임계점 사이의 관계를 규명한다.
• 지오데식선을 경계 조건이 주어진 해로 모델링하기 위해, $\overline{S} \times X$ 위에서 복소 몽에-암페르 방정식 $(\omega + i\partial\overline{\partial}u)^{n+1} = 0$ 을 적용한다. 여기서 $S = \{s \in \mathbb{C} : 0 < \text{Im}(s) < 1\}$이다.
• 매끄러운 위상에서의 변형 기법을 사용하여, $u_1 - u_0$의 모어 성질과 임계점의 구조를 유지하면서도 포텐셜의 $C^\infty$ 정칙성을 유지한다.
• 도널드슨의 레마(레마 4.1)의 수정된 형태를 적용하여, 변형 후에도 켈러 형식의 양성 보장을 보장하는 캐럿 함수를 구성한다.
• 해의 $\omega$-다중하나함수성과 두 번째 도함수를 비교하여, 특정 경계 조건 하에서 매끄러운 해가 존재한다고 가정할 경우 모순을 이끌어내는 방법을 사용한다.
• 최근의 [DL] 결과를 활용하여, $C^3$ 가정이 최적임을 보이며, 더 높은 정칙성은 가정할 수 없음을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 임의의 $C^3$ 지오데식선의 초기 속도 $\dot{u}_0$의 임계점 구조는 경계 차분 $u_1 - u_0$의 임계점과 관련이 있는가?
• RQ2 주어진 $C^3$ 정칙성 조건 하에서, 공간 $\mathcal{H}$ 내에서 어떤 두 켈러 포텐셜이라도 매끄러운 지오데식선으로 항상 연결될 수 있는가?
• RQ3 매끄러운 지오데식선으로 연결되지 않는 포텐셜 쌍의 집합은 $C^\infty$ 위상에서 열린가?
• RQ4 모어 함수 $u_1 - u_0$가 가질 수 있는 최소한의 임계점 수는 얼마이며, 이는 초기 속도 $\dot{u}_0$에 어떤 제약을 가하는가?
• RQ5 특수 대칭성을 갖지 않는 모든 컴acts 켈러 다양체에 대해 매끄러운 지오데식선의 부재를 증명할 수 있는가?

주요 결과

• 초기 속도 $\dot{u}_0$의 모든 임계점은 $u_1 - u_0$의 임계점에 포함되며, 이는 경계 데이터와 초기 접선 벡터 사이의 모어 이론적 연결을 수립한다.
• 만일 $u_1 - u_0$가 모어 함수이면, $\dot{u}_0$ 역시 모어 함수이며, 최소한의 임계점 수를 유지한다.
• 모든 컴팩트 켈러 다양체 $(X, \omega_0)$에 대해, 매끄러운 지오데식선으로 연결될 수 없는 포텐셜 쌍 $u_0, u_1 \in \mathcal{H}$ 가 존재한다.
• 만일 $X \neq \mathbb{C}P^1$ 이면, 그러한 연결 불가능한 쌍의 집합은 $C^\infty(X) \times C^\infty(X)$ 내에서 비어 있지 않은 내부를 가지며, 이는 현상이 일반적임을 시사한다.
• 부재 결과는 최적이다: [DL]의 핵심 부등식 위반과 $C^3$ 해 가정에 의한 모순을 통해 $C^3$ 정칙성 조건이 최적임을 보여준다.
• 특정한 임계점 구조를 가진 경계 데이터를 가진 $C^3$ 해가 존재한다고 가정할 경우, $v'_{z_j z_k}(x_0)$와 $\omega'$ 항들을 포함하는 도함수 부등식 위반이 발생하여 모순이 발생한다.