[논문 리뷰] Morse theory and higher torsion invariants II

Sebastian Goette|ArXiv.org|2003. 05. 20.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 16인용 수 22

한 줄 요약

이 논문은 고정된 단위 유니터리 평행 접속을 지닌 콪팩트 다양체의 가족과, 각기의 코homology에 대해 평행 메트릭을 지닌 벡터 번들의 경우 Igusa의 고차 프라즈-라이드마이스터 토포로지의 일반화를 수행한다. 매끄러운 모스 함수를 이용하여 이 토포로지가 비즈마-로트의 고차 해석적 토포로지와 정확한 관계를 맺음을 보이며, 그 차이는 리만 제타 함수와 오일러 클래스를 포함하는 특성류로 주어진다. 이 결과는 평행 메트릭이 존재하는 상황에서 허버트-밀러 정리의 고차 토포로지 불변량으로의 확장이다.

ABSTRACT

Let p: M -> B be a family of compact manifolds equipped with a unitarily flat vector bundle F -> M. We generalize Igusa's higher Franz-Reidemeister torsion τ(M/B;F) to the case that the fibre-wise cohomology H^*(M/B;F) -> B carries a parallel metric. If moreover M admits a fibre-wise Morse function, we compute the difference of τ(M/B;F) and the higher analytic torsion \Cal T(M/B;F). We also generalise the examples given in math.DG/0111222 .

연구 동기 및 목표

• 모서리의 코homology 번들이 가우스-마인 연결에 관해 평행 메트릭을 지닌 가족으로 Igusa의 고차 프라즈-라이드마이스터 토포로지를 일반화하는 것.
• 가족 내에서 각기의 모스 함수가 존재할 경우, 이 일반화된 토포로지를 비즈마-로트의 고차 해석적 토포로지와 비교하는 것.
• 해석적 토포로지와 고차 프라즈-라이드마이스터 토포로지 간의 차이를 특성류와 곡률 형식의 언어로 정확한 공식으로 제시하는 것.
• 두 토포로지 불변량이 유니터리 화이트헤드 공간에서 동일한 보편 불변량을 유도함을 보이며, 허버트-밀러 정리를 고차 토포로지 불변량으로 확장하는 것.

제안 방법

• 비틀림 함수 $ h $의 임계집합 $ C $ 에 대해, $ V = \tilde{p}_* (F|_C) \otimes o(T^uX) $ 에서 평행 초접속 $ A' $ 을 구성한다.
• 필터링을 존중하고 스펙트럴 시퀀스의 $ E_1 $-항에서 동형을 유도하는, $ \Omega^*(M;F) \to \Omega^*(B;V) $ 의 통합 사상 $ I $ 를 정의한다.
• 메트릭 $ g^V $ 와 함수 $ h $ 에 의해 유도된 자기변환 $ h^V $ 를 사용하여, $ \Omega^*(B) $ 에 속하는 해석적 토포로지 형식 $ T(A', g^V, h^V) $ 를 정의한다.
• 리만 제타 함수를 통한 $ {}^0\!J $-클래스 정의와 함께, $ \widetilde{\operatorname{ch}}(\nabla^H, g^{H}_{L_2}, g^{H}_V) $ 의 체른-시몬스 클래스를 사용하여 두 토포로지 간의 차이를 표현한다.
• 비즈마-로트의 해석적 토포로지 형식 $ \mathcal{T}(T^H M, g^{TX}, \nabla^F, g^F) $ 를 적용하고, 코homological 공식을 통해 일반화된 $ \tau(M/B;F) $ 와 비교한다.
• 두 토포로지 불변량 $ \tau(M/B;F) $ 와 $ \mathcal{T}(M/B;F) $ 가 유니터리 화이트헤드 공간 $ Wh^u(M(\mathbb{C}), U) $ 에서 동일한 보편 불변량을 유도함을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Igusa의 고차 프라즈-라이드마이스터 토포로지는 각기의 코homology 번지에 평행 메트릭이 존재하는 가족으로 어떻게 일반화될 수 있는가?
• RQ2 각기의 모스 함수가 존재할 경우, 일반화된 고차 프라즈-라이드마이스터 토포로지와 비즈마-로트의 고차 해석적 토포로지 간의 정확한 관계는 무엇인가?
• RQ3 해석적 토포로지와 고차 토포로지 불변량 간의 차이를 리만 제타 함수와 오일러 클래스를 포함하는 특성류의 언어로 표현할 수 있는가?
• RQ4 두 토포로지 불변량은 동일한 보편 불변량을 유니터리 화이트헤드 공간에서 유도하는가?

주요 결과

• 고차 해석적 토포로지 $ \mathcal{T}(M/B;F) $ 와 일반화된 고차 프라즈-라이드마이스터 토포로지 $ \tau(M/B;F) $ 간의 차이는 $ H^*(B; \mathbb{R}) $ 에서 $ \int_{M/B} e(TX) \cdot {}^0\!J(TX) \cdot \operatorname{rk} F $ 로 주어진다.
• 이 공식은 $ B $ 상에서 정확한 형식들에 대해 모듈로 성립하며, 보정 항은 $ \zeta'(-2k) $ 와 차수 $ 4k $ 의 체른 특성류를 포함하는 $ {}^0\!J $-클래스를 포함한다.
• 토포로지 불변량 $ \tau(M/B;F) $ 와 $ \mathcal{T}(M/B;F) $ 는 유니터리 화이트헤드 공간 $ Wh^u(M(\mathbb{C}), U) $ 에서 동일한 보편 불변량을 유도한다.
• 이 구성은 자명한 번들 뿐 아니라 임의의 유니터리 평행 접속을 지닌 벡터 번들 $ F $ 에 대해서도 성립하여 이전 결과들을 일반화한다.
• 이 결과는 특정한 조건 하에서, 각기의 모스 함수가 필요로 하지 않는다는 추측을 확인한다. 즉, 충분히 큰 $ N $ 에 대해 $ \mathbb{R}P^{2N} $ 과의 곱을 고려할 경우 공식이 성립함을 보여준다.
• 논문은 보편 공간 $ Wh^u(M(\mathbb{C}), GL(\mathbb{C})) $ 의 언어로 유한차원 토포로지 $ T(A', g^V, h^V) $ 의 새로운 기술을 제공한다.