[논문 리뷰] Mosco Type Convergence of Bilinear Forms and Weak Convergence of $n$-Particle Systems

Jörg‐Uwe Löbus|arXiv (Cornell University)|2012. 09. 21.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 14인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 변화하는 $L^2$ 공간 위에서 비대칭 이차형식의 Mosco 유형 수렴을 위한 프레임워크를 수립하여 $n$-입자 시스템의 약한 수렴과 상대적 컴팩턴스를 가능하게 한다. Mosco 수렴과 적절한 기술적 조건 하에서, 관련된 $n$-입자 과정이 약하게 수렴함을 증명하며, 이는 이전 결과를 대칭 또는 딜레르트 형식 기반 설정을 초월하여 확장한다.

ABSTRACT

It is well known that Mosco (type) convergence is a tool in order to verify weak convergence of finite dimensional distributions of sequences of stochastic processes. In the present paper we are concerned with the concept of Mosco type convergence for non-symmetric stochastic processes and, in particular, $n$-particle systems in order to establish relative compactness.

연구 동기 및 목표

• 비대칭 또는 딜레르트 성질이나 닫힘 조건을 요구하지 않고 비대칭 이차형식에 대한 Mosco 수렴을 확장한다.
• 관련된 용적수 $\mathbb{E}[e^{-\beta \tau_n}]$ 의 수렴을 통해 $n$-입자 시스템의 상대적 컴팩턴스와 약한 수렴을 확립한다.
• 제한 초기 분포가 단일 상태에 농축되지 않은 비대칭 스토케스틱 과정을 위한 일반적 프레임워크를 개발한다.
• 생성자에 상수 함수를 적용할 때 기술적 조건을 도입하여 Mosco 수렴 기법을 비수축 준군에 적응시킨다.
• 기존 비대칭 딜레르트 형식 프레임워크에 부합하지 않는 입자 시스템 모델에 이론을 적용한다. [15] 참조.

제안 방법

• 강한 연속성과 수축성을 갖는 준군의 생성자 $A$ 를 통해 이차형식 $S(u,v)$ 를 정의한다. $L^2(E, \nu)$ 위에서 $S(u,v) = -\langle Au, v\rangle$ 이며, $u \in D(A)$ 이다.
• 형식 $S(u,v)$ 를 $u \notin D(S)$ 일 때 무한대까지 연장함으로써 비대칭 및 비양수 이차형식의 처리를 가능하게 한다.
• 수축성 조건을 대체하기 위해 기술적 조건을 도입한다: $A_n' \mathbf{1} \to A' \mathbf{1}$ 는 적절한 의미에서 수렴하며, 준군의 정의를 보장한다.
• 해결자 연산자 $G_{n,\beta} = (\beta - A_n)^{-1}$ 와 첫 번째 외부 시간 $\tau_n$ 을 이용해 용적수의 수열 $\mathbb{E}_\nu[e^{-\beta \tau_n}]$ 을 정의한다.
• 지수적 모멘트와 해결자 수렴을 이용하여 $\mathbb{E}_{\nu_n}[\gamma_n(f)] \to 0$ 를 증명함으로써, 유계 연속 함수 $f$ 에 대해 $f(\mathbf{X}^n)$ 의 컴팩턴스를 확보한다.
• Stone-Weierstrass 정리와 [2] 에서 제시된 약한 수렴 기준을 적용하여 $C([0,T]; E)$ 에서 $\mathbf{X}^n$ 의 약한 수렴을 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 디릴레르트 형식 이론에 의존하지 않고 비대칭, 비양수, 비닫힘 이차형식에 대한 Mosco 수렴을 어떻게 확장할 수 있는가?
• RQ2 이차형식의 Mosco 수렴이 $n$-입자 시스템의 상대적 컴팩턴스를 어떻게 유도하는가?
• RQ3 $\mathbb{E}[e^{-\beta \tau_n}]$ 의 수렴을 어떻게 활용하여 유한차원 분포의 약한 수렴을 증명할 수 있는가?
• RQ4 준군이 $L^2$ 에서 수축적이지 않을 경우 어떤 기술적 수정이 필요한가?
• RQ5 비퇴화된 초기 분포를 갖는 시스템과 고전적 비대칭 딜레르트 형식 모델에 부합하지 않는 시스템을 이 프레임워크가 다룰 수 있는가?

주요 결과

• 이차형식 $S_n$ 이 $S$ 로 Mosco 수렴하면, 관련된 용적수 $\mathbb{E}_\nu[e^{-\beta \tau_n}]$ 의 수렴이 유도되며, 이는 $n$-입자 과정의 상대적 컴팩턴스를 확보하는 데 충분하다.
• Mosco 수렴과 생성자에 대한 기술적 가정 하에서 $\mathbb{E}_{\nu_n}[\gamma_n(f)] \to 0$ 이 성립함을 증명하여 컴팩턴스를 보장한다.
• $\mathbb{E}_{\nu_n}[\gamma_n(f)]$ 가 소멸하고 $E$ 가 컴팩트할 경우, $C([0,T]; \mathbb{R})$ 에서 $f(\mathbf{X}^n)$ 의 상대적 컴팩턴스가 유도된다.
• $C([0,T]; E)$ 에서 $\mathbf{X}^n$ 의 약한 수렴은 $\tilde{C}_b(E)$ 가 $C_b(E)$ 에 밀도를 이룬다는 사실과 컴팩턴스 기준을 이용하여 증명된다.
• 이 프레임워크는 비퇴화된 제한 초기 분포를 갖는 시스템과 고전적 비대칭 딜레르트 형식 모델에 부합하지 않는 시스템에 적용 가능하다.
• $\|f - \beta G_{n,\beta}g_2\|_{L^2(\nu_n)} \to 0$ 과 $G_{n,\beta}g_2 \to G_\beta g_2$ 의 수렴은 $\mathbb{E}_{\nu_n}[\gamma_n(f)] \to 0$ 을 증명하는 데 핵심적이다.