[논문 리뷰] Multifraction reduction II: Conjectures for Artin-Tits groups

Patrick Dehornoy|arXiv (Cornell University)|2016. 06. 29.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 17인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 Noetherian GCD-모노이드에서 다중분수에 대한 최대의 순수 $i$-감소자 개념을 도입하며, 이것이 모든 최대 $i$-감소자의 최대공약수이자 $\gcd(a_i, a_{i+1})$의 배수임을 증명한다. 반복적인 순수 감소가 순수-기약 다중분수로 이어지며, 감소 체계의 준수렴성에 대한 추측 A는 모든 단위원, 순수-기약 다중분수가 자명하거나 감소 가능한 것과 동치임을 추측한다. 이는 아르틴-티츠 군에서 분수 분해의 유일성을 증명하는 데 핵심적이다.

ABSTRACT

Multifraction reduction is a new approach to the word problem for Artin-Tits groups and, more generally, for the enveloping group of a monoid in which any two elements admit a greatest common divisor. This approach is based on a rewrite system ("reduction") that extends free group reduction. In this paper, we show that assuming that reduction satisfies a weak form of convergence called semi-convergence is sufficient for solving the word problem for the enveloping group, and we connect semi-convergence with other conditions involving reduction. We conjecture that these properties are valid for all Artin-Tits monoids, and provide partial results and numerical evidence supporting such conjectures.

연구 동기 및 목표

• Noetherian GCD-모노이드에서 다중분수에 대한 최대의 순수 $i$-감소자를 정의하고 특성화하기.
• 감소 체계 $\mathcal{R}_M^{\pm}$가 준수렴하는 조건을 확립하기.
• 순수-기약 다중분수의 구조와 그 감소체의 성질을 조사하기.
• 아르틴-티츠 모노이드에서 4-다중분수에 대해 추측 A와 추측 B의 동치성을 증명하기.
• 분수 분해 $ab^{-1}$에서 $a\mathbin{\widetilde{\wedge}}b=1$일 때의 유일성이 추측 A$_4$와 동치임을 보여주기.

제안 방법

• 다중분수 $\underline{a}$에 대해 모든 최대 $i$-감소자의 최대공약수로 최대의 순수 $i$-감소자를 정의하기.
• 이 최대의 순수 감소자가 유일하며 $\gcd(a_i, a_{i+1})$를 나누는 것을 증명하기.
• Lemma~\ref{L:Tame2}를 사용하여 최대의 순수 감소자의 약수는 모두 순수 감소자임을 보여주기.
• 반복적으로 최대의 순수 $i$-감소자를 적용한 결과를 나타내는 연산자 $\mathrm{red}_{\mathrm{t}}(\underline{a})$를 도입하기.
• 특히 $\widetilde{A}_2$ 유형의 아르틴-티츠 모노이드에 이 개념을 적용하여 예시를 통해 추측을 검증하기.
• 추측 A$_4$와 $\mathcal{U}(M)$에서 분수 분해의 유일성 간의 동치성을 확립하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 아르틴-티츠 모노이드에서 모든 단위원, 순수-기약 다중분수는 야생 감소 하에 공통 감소체를 갖는가?
• RQ2 감소 체계 $\mathcal{R}_M^{\pm}$가 준수렴하는 것은 모든 단위원, 순수-기약 다중분수가 자명하거나 감소 가능한 것과 동치인가?
• RQ3 최대의 순수 $i$-감소자가 최대 $i$-감소자의 최대공약수로 계산될 수 있으며, 항상 $\gcd(a_i, a_{i+1})$ 이상에 위치하는가?
• RQ4 4-다중분수의 경우, $\mathrm{red}_{\mathrm{t}}(\underline{a}) = \underline{1}$인 추측 B가 추측 A와 동치인가?
• RQ5 분수 분해 $ab^{-1}$에서 $a\mathbin{\widetilde{\wedge}}b=1$일 때의 유일성이 $\mathcal{R}_M^{\pm}$의 준수렴성을 암시하는가?

주요 결과

• 다중분수 $\underline{a}$에 대한 최대의 순수 $i$-감소자는 모든 최대 $i$-감소자의 최대공약수이며, $\gcd(a_i, a_{i+1})$의 배수이다.
• 최대의 순수 $i$-감소자를 반복 적용하면 순수-기약 다중분수가 얻어지며, 더 이상 순수 감소가 적용되지 않는 경우 그 다중분수는 소수이다.
• $\widetilde{A}_2$ 유형 아르틴-티츠 모노이드에서 $\mathrm{red}_{\mathrm{t}}(\mathtt{1/c/aba}) = \mathtt{1/c/aba}$이므로 비자명한 순수 감소가 존재하지 않음을 나타낸다.
• $\underline{a} = \mathtt{1/a/cabab}$인 $A_2$ 유형에서 최대의 순수 2-감소자는 $ca$이며, $\gcd(a, cabab) = 1$보다 큰 진약수이므로 항목의 최대공약수를 초월할 수 있음을 보여준다.
• 추측 A$_4$는 아르틴-티츠 모노이드에서 모든 단위원 4-다중분수가 자명하거나 감소 가능한 것과 동치이다.
• 추측 A$_4$와 B$_4$는 서로 동치이며, 둘 다 분수 분해 $ab^{-1}$에서 $a\mathbin{\widetilde{\wedge}}b=1$일 때의 유일성과 동치이다.